Giải Abel 2018: Robert Langlands với Lý thuyết thống nhất Toán học

GS. Robert Langlands. Nguồn ảnh: Nature

Viện Hàn Lâm Khoa học và Văn chương Na Uy đã trao tặng giải Abel năm 2018 cho Robert P. Langlands, Giáo sư danh dự của Khoa Toán tại Viện Nghiên Cứu Cao Cấp Princeton (IAS). Giáo sư Langlands được tuyên dương vì đã “có viễn kiến về một chương trình nhằm nối liền lý thuyết biểu diễn (representation theory) và lý thuyết số (number theory).”

Những dự đoán của ông vươn xa nhằm kết nối nhiều lĩnh vực với nhau, được tập hợp lại trong một chương trình gọi là chương trình Langlands. Nó không những ảnh hưởng sâu rộng đến Toán học mà còn ảnh hưởng lên một phần của Vật lý lý thuyết. Nguồn gốc của chương trình này được tìm thấy trong một bức thư dài mười bảy (17) trang viết tay do Langlands gửi cho André Weil[1] vào năm 1967, khi đó Weil cũng đang là giáo sư tại IAS[2]. Trong thư ấy Langlands có đề nghị một lý thuyết vĩ đại nhằm thống nhất nhiều lĩnh vực Toán học có vẻ như không có gì chung cả: Lý thuyết số, Hình Đại số và lý thuyết các dạng tự đẳng cấu. Weil đánh máy lại bức thư này cho dễ đọc, rồi cho nó luân lưu trong giới các nhà Toán học trong những năm 1960 và 1970. Suốt trong hơn 40 năm sau, rất nhiều nhà Toán học tham gia làm việc trên các dự đoán của Langlands.

Giáo sư Robbert Dijkgraaf, Trưởng Khoa Toán của IAS đã phát biểu: “IAS vô cùng hân hoan và hãnh diện vì Robert Langlands đã được tặng thưởng giải Abel 2018 cao quý vì chương trình nhìn xa trông rộng của ông. Viễn kiến của ông đã là nguồn cảm hứng cho nhiều thế hệ các nhà Toán học và họ đã đem lại cho Toán học nhiều kết quả đột phá. Con đường ông đã vạch ra sẽ hướng dẫn cho nhiều nhà Toán học tương lai, và chắc chắn chúng ta sẽ có thêm nhiều khám phá bất ngờ nữa, đó sẽ là những món quà cống hiến cho thế giới.”

Giáo sư Peter Sarnak[3], giáo sư Khoa Toán của IAS, nói thêm: “Chương trình Langlands và những dự đoán cốt lõi của nó đã được sinh ra từ những thành tựu có tính đột phá mà Langlands đã thực hiện được trước đây. Một khi đã nhận biết những chủ đề của sự thống nhất, Langlands, các học trò của ông và những người theo trường phái của ông đã dành nhiều thời gian và nỗ lực để phát triển các công cụ cơ bản nhằm chứng minh các dự đoán của ông, thí dụ công thức về vết (trace formula). Các dự đoán này rất khó chứng minh, và nó được cho thấy là nền tảng kỳ diệu cho những công trình khác (một thí dụ nổi tiếng là Định lý đổi cơ sở của Langlands đã là điểm khởi hành cho Andrew Wiles chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat).”

Giải Abel là một phần thưởng quốc tế dành cho công trình Toán học xuất sắc nhất đi kèm với số tiền khoảng chừng 800.000 USD. Giải thưởng sẽ được vua H.M. Harald V trao cho Langlands vào ngày 22 tháng 5 năm 2018 trong một buổi lễ tại Oslo. Từ ngày giải Abel được thành lập vào năm 2003 đến nay, 17 trong số 19 người được giải hoặc là thành viên của IAS hoặc có liên quan đến IAS.

Langlands có những hiểu biết sâu sắc trong lĩnh vực lý thuyết số và lĩnh vực lý thuyết biểu diễn bao gồm sự hình thành các nguyên lý về các dạng tự đẳng cấu, lý thuyết về các số đại số, lớp các L-hàm, cấu trúc tổng quát về chuỗi Eisenstein, những kỹ thuật liên quan đến dự đoán Artin (dùng trong việc chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat), phương pháp endoscopy, và sự phát triển các kỹ thuật liên quan đến hàm zeta của các đa tạp Shimura trong phép tự đẳng cấu các L-hàm.

Langlands sinh tại tỉnh British Columbia (Canada) vào năm 1936. Ông lớn lên trong một thị trấn nhỏ của Canada, ở đó cha ông có một của hiệu tạp hóa. Ông ghi tên vào Đại học British Columbia năm 16 tuổi. Tại đây ông có vẻ thích Toán hơn là Vật lý, nhất là những tính toán đại số. Sau khi tốt nghiệp Cử nhân và Thạc sĩ, ông tiếp tục học tại Đại học Yale và lấy bằng Tiến sĩ vào năm 1960. Ông dạy học tại Đại học Princeton và Đại học Yale, rồi trở thành thành viên của IAS. Ông được bổ nhiệm làm Giáo sư của IAS vào năm 1972.

Những dự đoán Langlands đã thu hút rất nhiều nhà Toán học nổi tiếng, trong đó có Harish-Chandra, Atle Selberg, Goro Shimura, André Weil và Hermann Weyl, những người này hoặc là thành viên của IAS hoặc có liên hệ chặt chẽ với IAS. Nghiên cứu sớm của Langlands về lý thuyết biểu diễn chịu ảnh hưởng từ phương pháp nghiên cứu lý thuyết các dạng tự đẳng cấu của Harish-Chandra, cựu giáo sư của IAS. Langlands nói: “Những bài báo của Harish-Chandra và của Selberg là một trong những bài báo đầu tiên tôi đã nghiên cứu rất kỹ và tôi vẫn tiếp tục nghiên cứu và sử dụng.”

Lý thuyết endoscopy có mục đích phân biệt cấu trúc nội tại các dạng biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm khác nhau. Lý thuyết này được sinh ra từ việc nghiên cứu các hàm zeta của các đa tạp Shimura (do Goro Shimura, một thành viên của IAS, phát triển nên) và lý thuyết các chuỗi rời rạc tạo nên bởi Harish-Chandra (cũng là một thành viên của IAS) vào thập niên 1960. Lý thuyết hiện đại về các đa tạp Shimura (tên do Langlands đặt ra vào những năm 1970) được bắt đầu bằng sự triển khai lý thuyết về các đa tạp Abel với phép nhân phức do Shimura, Yutaka Taniyama và André Weil sáng tạo ra trong thập niên 1950.

Trong nhiều trường hợp, nguyên lý  functoriality (tạm dịch là nguyên lý hàm tử) của Langlands dùng công thức vết của Selberg và bổ đề cơ bản để kết nối các biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm khác nhau thông qua L-nhóm, nguyên lý này có nguồn từ lý thuyết lớp trường và lý thuyết biểu diễn của các bán nhóm Lie đơn giản dưới dạng Harish-Chander.

Một số khía cạnh của chương trình Langlands đã được chứng minh, thí dụ như Laurent Lafforgue đã chứng minh được “Dự đoán Langlands cho các trường hàm” (Langlands conjecture for function fields) qua nhiều buổi thuyết trình tại Viện vào năm 1999, nhờ đó mà Lafforgue được tặng thưởng Huy chương Fields vào năm 2002. Rồi sau đó Ngô Bảo Châu, một thành viên khác của Viện, chứng minh được bổ đề cơ bản, một công cụ kỹ thuật do Langlands thiết lập, nhằm mục đích kết nối các biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm khác nhau, nhờ đó Ngô Bảo Châu được tặng thưởng Huy chương Fields vào năm 2010. Một số khía cạnh khác của chương trình góp phần chứng minh được các định lý xem ra chẳng có dính líu gì tới chương trình, chẳng hạn như chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat do Andrew Wiles đạt được vào năm 1994.

Nhiều phần của lý thuyết hiện đại về các dạng tự đẳng cấu bị chi phối bởi hai vấn đề cơ bản - hai trọng tâm của chương trình Langlands: Nguyên lý  functoriality và tổng quát hóa dự đoán Shimura-Taniyama-Weil trên các đường cong elliptic có tính modula. Chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat của Andrew Wiles là một công trình rất sâu, có liên hệ chặt chẽ đến hai vấn đề cơ bản này.

Thêm vào đó Langlands làm thay đổi mạnh mẽ lĩnh vực các tự đẳng cấu, làm cho lý thuyết biểu diễn vô hạn chiều của các nhóm thâm nhập vào hoạt động quan trọng của Toán học, và biến các lớp tổng quát của các L-hàm làm cho chúng có vai trò có ý nghĩa trong lý thuyết số. Các dự đoán của Langlands cũng có ảnh hưởng nhất định đối với một vài ngành khác, như Vật lý. Trong chương trình hình học Langlands được sáng tạo nên bởi Vladimir Drinfeld, một thành viên cũ của IAS, một vài ý tưởng đã được chuyển hóa từ lý thuyết số sang thành những phát biểu hình học. Dạng hình học rất thích hợp cho lãnh vực Vật lý lý thuyết, đặc biệt là lý thuyết về dây (string theory). Năm 2006, Edward Witten và Charles Simonyi, giáo sư khoa Khoa học tự nhiên của Viện, cùng viết một bài báo dài 225 trang về mối liên quan của một phần chương trình hình học Langlands với những ý tưởng đối ngẫu giữa Điện và Từ (Duality between Electricity and Magnetism).

Langlands cũng đã nhận được nhiều giải thưởng danh dự khác:

    Giải thưởng Shaw (2007)
    Giải thưởng Esser Nemmers (2006)
    Huy chương vàng của Hàn Lâm Viện Khoa học Pháp (2000)
    Giải thưởng Wolf (cùng với Andrew Wiles)(1996).
    Giải Hàn Lâm Viện Khoa học Mỹ (1988)
    Giải khối thịnh vượng Anh (1984)
    Giải của Hội Toán học Mỹ (1982).

(California, 3/21/2018)

---------------

[1] Andre Weil là một trong những người sáng lập ra nhóm Bourbaki nổi tiếng vào năm 1935 (LQA).

[2] Nhắc lại rằng khi ấy Langlands mới chưa đến 30 tuổi và chưa có sự nghiệp gì mấy, trong khi đó André Weil đã 64 tuổi và là một nhà Toán học nổi tiếng không những trong IAS mà khắp thế giới.

[3] Giáo sư Peter Sarnak là người đã giúp Andrew Wiles khá nhiều trong việc chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat (LQA).