Chúng ta phải biết/Chúng ta sẽ biết

Hai câu bất hủ của Hilbert “Chúng ta phải biết/Chúng ta sẽ biết” trên bia mộ của ông ở Göttingen, Đức.

Giới thiệu

DAVID HILBERT (1862-1943) là “một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại” (Heisenberg), đôi khi được ví như một “Euclid thế kỷ 20”. Ông để lại dấu ấn sâu đậm lên sự phát triển của nhiều lãnh vực toán học như Đại số, Lý thuyết số, Hình học, Giải tích, Vật lý lý thuyết, Logic toán, và mối liên hệ giữa các lãnh vực này. Ông là “nhà toán học hệ thống”. Tại “Hội nghị toán học thế giới lần thứ hai” năm 1900 tại Paris, với sự hiểu biết sâu rộng, ông có bài diễn văn nổi tiếng về Hai mươi ba bài toán quan trọng chưa được giải quyết, đặt nền tảng cho nghiên cứu toán cho các thập kỷ tiếp theo. Ông luôn bảo vệ sự thống nhất của toán học chống lại sự phân mảnh thành những lý thuyết độc lập.

Hoa Kỳ phải mang ơn ông rất nhiều. Nhiều nhà toán học trẻ của Mỹ đã đến Göttingen theo học ông trong thời gian 1900-1914 và trở thành những trụ cột sau này.  Thực tế, sinh viên toán của cả thế giới đều đến đó như hành hương về một Mecca.  Nhưng ảnh hưởng của những bài toán, các quan điểm, các phương pháp của ông đã  vượt khỏi giới học trò được ông  truyền cảm hứng trực tiếp. Tiếp theo làn sóng du học là cuộc di tản ồ ạt sang Mỹ vào những năm 1930 của các học trò của ông, và của giới toán học, khoa học châu Âu. Sự cống hiến của họ đã đưa nền toán học và vật lý Mỹ thăng hoa và chiếm giữ vị trí dẫn đầu  thế giới.

Hilbert có một tinh thần lạc quan, một niềm tin vô hạn về năng lực tư duy và khả  năng khám phá của con người - rằng tất cả  các bài toán sẽ được giải quyết - đem lại cho ông sự can đảm và sức mạnh. Nhưng niềm tin đó cũng khiến ông không linh cảm được rằng, có thể có những vấn đề toán học nào đó không thể giải quyết được trong các hệ thống tiên đề của ông. Năm 1930, ông kết thúc bài đáp từ về hưu (Tiêu đề: Naturerkennen und Logik, Nhận thức về Tự nhiên và Logic) tại Hội nghị các Nhà khoa học tự nhiên và Bác sĩ Đức tại Königsberg, quê hương ông, và cũng là quê hương của Kant (nay là Kaliningrad, Nga), với hai câu bất hủ:

Chúng ta phải biết
Chúng ta sẽ biết
(Wir müssen wissen
Wir werden wissen)

để đáp trả khẩu hiệu “Ignoramus et ignorabimus”, hay là  “Chúng ta không biết, chúng ta sẽ không biết” của nhà sinh lý học Đức Emil du Bois-Reymond. Một ngày trước khi Hilbert tuyên bố hai câu trên, Kurt Gödel (1906-1978) đã công bố phiên bản đầu tiên của các định lý bất toàn của ông.

Khẩu hiệu của Hilbert thực tế biểu thị trung thực sự dâng lên của đợt sóng những khám phá kỳ thú và ngoạn mục nhất lịch sử trong các ngành khoa học, nhất là trong ngành vật lý, diễn ra liên tục từ cuối thế kỷ thứ mười chín và đạt đến đỉnh cao trong các thập niên đầu của thế kỷ hai mươi, để hình thành một thế giới quan mới hôm nay vẫn còn giá trị. Con người như muốn biết tất cả, muốn nhìn thấy “các con bài của Chúa” còn đang dấu kín như Albert Einstein diễn tả. Những khám phá đó cũng diễn ra trùng khớp với giai đoạn mà tại Hoa Kỳ và phần lớn châu Âu xã hội nông nghiệp đang được chuyển đổi hoàn toàn sang xã hội công nghiệp hiện đại.

Hilbert mất năm 1943 tại Göttingen, hưởng thọ 81 tuổi. Hai câu trên được khắc lên bia mộ  của  ông tại Göttingen.

Xin nói thêm về mối quan hệ giữa toán học và khoa học được thảo luận nhiều trong lịch sử. Georg Cantor, cha đẻ của thuyết tập hợp, có một quan điểm đặc biệt khi, xuất phát từ kinh nghiệm của ông, cho rằng toán học khác với các ngành khác bởi tính chất hoàn toàn độc lập của nó trong việc tạo ra các concept mà không cần để ý đến thực tại, miễn là chúng không mâu thuẫn với những định nghĩa có trước. Cantor thích sử dụng từ “toán học tự do” hơn “toán học thuần túy”. Mặc dù thế, “toán tự do của ông” có vô số ứng dụng. Nhưng từ thế kỷ mười chín trở đi, mối quan hệ giữa toán học và khoa học, trong đó đặc biệt ngành vật lý, ngày càng phát triển. Tại Hội nghị toán học thế giới lần thứ hai, Hilbert phát biểu:

Ngay cả khi hoạt động sáng tạo này của tư duy thuần túy tiếp diễn, thế giới bên ngoài lại tiếp tục tái xác nhận tính hiệu lực của nó, và bằng cách rót thêm những câu hỏi mới lên chúng ta qua các hiện tượng xuất hiện, mở ra nhiều lãnh vực của tri thức toán học; và khi chúng ta cố gắng đưa những lãnh vực mới này vào vùng ảnh hưởng của tư duy thuần túy, chúng ta thường tìm thấy những lời giải cho những bài toán còn tồn đọng, và do đó cùng lúc chúng ta phát triển những lý thuyết trước đây một cách hiệu quả nhất. Tùy thuộc vào tác động qua lại giữa tư duy và thí nghiệm, theo tôi, là nhiều tính tương tự đáng ngạc nhiên, và sự hài hòa rõ ràng tiền định mà các nhà toán học rất thường quan niệm trong các bài toán, phương pháp, và concept của các địa hạt khác nhau của tri thức.

Nhà toán học Pháp Charles Hermite đưa ra một cách giải thích sự liên hệ kỳ diệu giữa toán học và khoa học như sau:

Nếu tôi không lầm, tồn tại một thế giới là tập hợp của những chân lý toán, mà chúng ta tiếp cận được thông qua năng lực trí tuệ của chúng ta, cũng như một thế giới của thực tại vật lý; thế giới này và thế giới kia độc lập với chúng ta, cả hai đều là sự sáng tác thần thánh, chúng xuất hiện khác nhau đối với chúng ta chỉ vì sự yếu kém của tinh thần chúng ta, nhưng đối với một lối tư duy mạnh mẽ hơn, cả hai đều là một và đồng nhất. Sự tổng hợp của hai thứ được hé lộ một phần trong sự tương ứng kỳ diệu giữa toán học trừu tượng, một mặt, và tất cả những ngành vật lý, mặt kia.

Einstein, trong Thế giới như tôi thấy, với những trải nghiệm đặc biệt của mình trong khám phá, đã giải thích thêm như sau:

Kinh nghiệm của chúng ta cho đến nay làm cho chúng ta tin rằng tự nhiên là sự thể hiện (realization) của những ý tưởng toán học đơn giản nhất có thể quan niệm được. Tôi tin tưởng rằng chúng ta, bằng các cấu tạo toán học thuần túy, có thể khám phá các concept và định luật nối liền chúng với nhau, điều cung cấp chiếc chìa khóa cho sự hiểu biết các hiện tượng tự nhiên. Kinh nghiệm có thể gợi ra các concept toán học thích hợp, nhưng chúng phần lớn không thể được suy diễn từ nó. Kinh nghiệm, dĩ nhiên, vẫn là tiêu chuẩn duy nhất cho sự hữu ích của một cấu tạo toán học. Nhưng nguyên lý sáng tạo (trước tác) thuộc về toán học. Cho nên, trong một nghĩa nào đó, đúng là tư duy thuần túy có thể nắm bắt được thực tế như những người cổ đại mơ ước.

Ứng dụng của hình học phi-Euclid vào thuyết tương đối rộng, của lý thuyết nhóm vào cấu trúc của các hạt cơ bản quark là những thí dụ kinh ngạc về mối quan hệ bất ngờ giữa toán học và vật lý.

***
Dưới đây là diễn từ tóm tắt bốn phút của ông năm 1930 dành cho đài truyền thanh Đức, một bản “hùng ca” rất truyền cảm dành cho toán học.

Nội dung của Diễn từ:
“Công cụ trung gian giữa lý thuyết và thực hành, giữa tư duy và quan sát là toán học. Nó xây dựng cầu nối và làm cho chiếc  cầu này ngày càng vững chắc hơn. Cho nên, toàn bộ nền văn hóa hiện tại của chúng ta, trong chừng mực dựa trên nhận thức về tự nhiên và sự ứng dụng nó, tìm thấy nền tảng của mình trong toán học.

GALILEI đã từng nói: Người ta chỉ có thể hiểu được tự nhiên khi học được ngôn ngữ của nó và quen thuộc với các ký hiệu mà qua đó tự nhiên nói với chúng ta. Nhưng ngôn ngữ này là toán học, và các ký hiệu chính là những hình toán học. Kant từng quả quyết: “Tôi cho rằng trong mỗi môn khoa học tự nhiên đặc biệt, chỉ có thể tìm thấy khoa học đích thực trong chừng mực nội hàm toán học được chứa đựng trong đó.” Sự thật: Chúng ta chỉ làm chủ được một lý thuyết khoa học khi chúng ta tách được cái nhân toán học của nó ra và bóc trần nó hoàn toàn khỏi vỏ. Không có toán học, không thể có ngành thiên văn học và vật lý học ngày nay; những ngành khoa học này, trong những phần lý thuyết của chúng, đều hiện ra ở dạng toán học. Những ứng dụng này, cũng như vô số những ứng dụng khác, là những gì đã giúp cho toán học làm nên tên tuổi mà nó có được  với đông đảo công chúng.​

Tuy nhiên, tất cả các nhà toán học đã từ chối lấy ứng dụng làm thước đo cho toán học. Gauss đã nói về sự mê hoặc đã làm cho lý thuyết số trở thành khoa học con cưng của các nhà toán học đầu tiên, không kể đến sự phong phú bất tận của nó, mà ở đó nó đã vượt xa tất cả các ngành khác của toán học. Kronecker so sánh các nhà lý thuyết số với những người ăn hạt sen, một khi đã nếm thử món này, họ sẽ không bao giờ dừng lại được.

Với sự quyết liệt đáng kinh ngạc, nhà toán học vĩ đại Poincaré đã từng tấn công Tolstoi, người tuyên bố rằng yêu sách “khoa học vị khoa học” là điên rồ. Những thành tựu công nghiệp, chẳng hạn, sẽ không thể nào có mặt trên đời nếu những nhà thực hành chỉ tồn tại một mình, và những tiến bộ của họ không được thúc đẩy bởi những kẻ điên rồ vô vụ lợi kia.

Niềm vinh dự của tinh thần con người, như nhà toán học nổi tiếng Jacobi ở Königsberg từng nói, là cứu cánh duy nhất của toàn bộ nền khoa học. Chúng ta không được phép tin vào những kẻ, với một thái độ triết lý và giọng điệu kẻ cả, tiên đoán về sự suy tàn của văn hóa, và rơi vào chủ nghĩa “chúng ta sẽ không biết” (ignorabimus). Đối với chúng ta không có ignorabimus, và theo tôi, cũng không hề có điều đó đối với khoa học. Ngược lại, thay cho chủ nghĩa ignorabimus dại dột, chúng ta nên có khẩu hiệu:

“CHÚNG TA PHẢI BIẾT
CHÚNG TA SẼ BIẾT”

Tác giả rất cảm ơn các bạn Võ Thành Minh Tuệ và Võ Tá Hân (Hoa Kỳ) đã góp phần thúc đẩy thực hiện bài viết này.

Nguyễn Xuân Xanh giới thiệu và chuyển ngữ