Định lý cuối cùng của Fermat

Lời nói đầu. Đây là một bài toán đầy huyền bí và định mệnh, lôi cuốn không biết bao nhiêu cái đầu vĩ đại, mà còn các nhà viết sử tên tuổi. Được đặt ra bởi Pierre de Fermat thế kỷ thứ 17, bài toán vẫn là một thách đố cho cả nhân loại hơn 300 năm qua, mãi cho đến khi người ta rất tình cờ tìm thấy chiếc chìa khóa của nó nằm tại Nhật Bản, nơi hai samurai trẻ thời hậu chiến đã đưa ra một giả thuyết không liên can gì đến bài toán, nhưng lại là để giải bài toán hóc búa kia. Và khi đưa ra xong, một trong hai tác giả đã tự sát, một điều không ai hiểu nổi. TS Lê Quang Ánh tái hiện lại câu chuyện hết sức ly kỳ này trong quyển sách dưới đây bằng những nghiên cứu riêng công phu và sâu sắc của ông. Sách sẽ chào đón Hội sách Thành phố trong những ngày tới của tháng ba. Tác giả

Dành tặng GS Đặng Đình Áng (1926-), người đã miệt mài đào tạo, hướng dẫn và hỗ trợ sinh viên ngành toán học hiện đại tại Đại học Sài Gòn nửa thế kỷ liền, luôn luôn truyền cảm hứng và tình thương. Phải có tình thương thì mới làm được việc lớn, một trong những câu nói của người Thầy đáng kính yêu ngày nay lại càng có giá trị.

Xin giới thiệu nồng nhiệt với bạn đọc. Dưới đây là bài tiểu luận của tôi viết cho quyển sách, chẳng đặng đừng trước câu chuyện ly kỳ và sự kể chuyện hay của tác giả. NXX

***

Cứu cánh duy nhất của nền khoa học là niềm vinh dự của trí tuệ con người.

C. G. J. Jacobi 1830

Tôi bị ám ảnh bởi bài toán này đến nỗi lúc nào tôi cũng nghĩ đến nó, khi tôi mới thức dậy buổi sáng, cũng như khi tôi đi ngủ buổi tối – và điều đó diễn ra tám năm liền.

Andrew Wiles

Định lý cuối cùng của Femat là một trong những câu chuyện bí ẩn, vâng, huyền bí và có lẽ thú vị nhất trong lịch sử toán học thế giới được nhà toán học Pháp thời Phục Hưng Pierre de Fermat (1607 – 1665) đặt ra năm 1637. Năm 1995, tức sau 358 năm, sau khi đánh bại bao nhiêu bộ óc vĩ đại của nền toán học thế giới, nó được nhà toán học Anh Andrew Wiles giải, một công trình như của Hercule thần thoại. Định lý Fermat có thể được ví như là ngọn núi Everest cao nhất của dãy Hy Mã Lạp Sơn của ngành lý thuyết số, mà Wiles là người leo núi đầu tiên đã đặt chân tới. Bài toán được phát biểu vô cùng đơn giản, mỗi học sinh trung học đều có thể hiểu, nhưng lời giải của nó lại vô cùng phức tạp, và cuối cùng người ta phải sử dụng những công cụ toán học trừu tượng mà người thường khó có thể hiểu được. Bài toán Fermat là của lý thuyết số, một lý thuyết có nguồn gốc cổ đại và thu hút mạnh mẽ các nhà toán học từ thế kỷ 17 trở đi. Gauss, một thần đồng và một ông hoàng toán học của thế kỷ 19 từng cho rằng lý thuyết số có sức mê hoặc to lớn, như Hilbert diễn tả, và trở thành “khoa học con cưng của các nhà toán học đầu tiên, không kể đến sự phong phú bất tận của nó, mà ở đó nó đã vượt xa tất cả các ngành khác của toán học. Kronecker so sánh các nhà lý thuyết số với những người ăn hạt sen, một khi đã nếm thử món này, họ sẽ không bao giờ dừng lại được.” Gauss được kể lại (M. Kline) cũng đã có “thử sức” cho một trường hợp đặc biệt (n = 7) của Định lý cuối cùng của Fermat nhưng không thành công, từ đó ông bỏ nó. Thật ra, cho đến giữa thế kỷ 20 có lẽ sẽ không có ai có năng lực một mình giải bài toán này. Bài toán Fermat, liên quan đến định lý Pythagoras, tuy có xuất xứ từ nền văn minh Lưỡng Hà, trông rất “mộc mạc”, nhưng lại có nguồn gốc rất phức tạp nằm trên những “đám mây” của toán học trừu tượng mà cho đến những năm sau Thế chiến II mới có những công cụ kỹ thuật manh nha để xử lý nó – một cách rất tình cờ. Chẳng phải vì các nhà toán học muốn giải bài toán Fermat mà nghĩ ra những công cụ đó. Sau những thất bại vào đầu thế kỷ 20, trong đó có cả vị thầy Minkowski của Einstein, người ta đã dè dặt. Hilbert cũng đã “không dám”. Vì người ta không thấy một manh mối nào để tiếp cận. Bài toán đứng hầu như riêng lẻ và biệt lập ngoài dòng chảy chính thống của toán học hiện đại. Thậm chí có lúc người ta nghi ngờ không biết bài toán Fermat có phải rơi vào phạm trù “không quyết định được” của Kurt Gödel hay không.

Nhưng rồi tri thức như một cái cây cứ phát triển, lý tính của con người liên kết chúng lại với nhau. Nếu xem Lưỡng Hà, nơi gốc rễ của toán học, là vùng phương Đông (Orient), như lịch sử thường xem, thì sau Thế chiến II, xa hơn, ở phương Đông, lại cung cấp một manh mối để giải bài toán Fermat bí ẩn. Đó là Nhật Bản, đất nước đang hồi sinh sau cảnh điêu tàn, với hai nhà toán học trẻ Goro Shimura và Yutaka Taniyama đang phấn đấu góp phần xây dựng lại nền toán học đất nước. Như đã nói, hai ông không hề có ý giải bài toán Fermat. Nhưng, định mệnh run rủi, những gì hai ông phát triển, cũng còn ở dạng tiên đoán như định lý Fermat, gọi là Tiên đoán Shimura – Taniyama, đã khép lại vòng tròn nhận thức trong toán học. Tiên đoán này lại rất đẹp, rất quyến rũ, khiến cho nhà toán học Canada Robert Langlands bắt đầu thiết lập Chương trình mang tên ông liệt kê những mối liên hệ chưa chứng minh được nhưng có sức thuyết phục như những chiếc cầu nối giữa các miền toán học khác nhau, trong đó có “Bổ đề căn bản” mà 15 năm sau Wiles, Ngô Bảo Châu đã giải được. Và chính tiên đoán của hai nhà toán học trẻ Nhật Bản đó là chìa khóa để giải bài toán Fermat.

***

Để có một chút mường tượng vấn đề thú vị nằm ở đâu, và hiểu mối liên hệ giữa bài toán Fermat và tiên đoán Shimura – Taniyama, chúng ta hãy xem lại nội dung Định lý cuối cùng của Fermat một chút. Bài toán được phát biểu như sau: Không có các số nguyên dương a, b, c (= 1, 2, 3, 4…) nào thỏa mãn phương trình

an + bn = cn (1)

khi n là một số nguyên lớn hơn 2 (n > 2). Nghĩa là đơn giản phương trình (1) không có nghiệm.

Đối với n = 1, phương trình (1) trở thành a + b = c, quá hiển nhiên là có vô số nghiệm. Với n = 2, biểu thức trên trở thành

a2 + b2 = c2 (2)

được gọi là phương trình Pythagoras quen thuộc từ hình học Euclid. Phương trình cũng vẫn còn có vô số bộ nghiệm a-b-c. Nghiệm đầu là 3-4-5 mọi người học định lý Pythago đã biết. Nghiệm kế tiếp: 5-12-13. Vân vân. Phương trình Pythagoras, được một học giả xếp vào loại hữu ích hàng thứ hai sau phương trình Einstein E = mc2, đã gây ngạc nhiên và thích thú cho bao bộ óc vĩ đại trong lịch sử. Năm 1628, Thomas Hobbes, một ngày tìm được quyển Hình học của Euclid, đọc đến Mệnh đề thứ 47 là định lý Pythagoras, ông thốt lên “Chúa ơi, có thể nào như thế?” trước sự ngạc nhiên vô hạn. “Niềm vui cực độ tôi có trong nghiên cứu đã vượt qua mọi sự ham muốn khác trong tôi.” Ông yêu hình học Euclid đến độ kiên quyết bảo vệ nó về mặt triết học trước calculus, toán vi tích phân đang lên trước khi được Newton và Leibniz hoàn tất. Một cuộc đấu tranh kịch liệt giữa ông và John Wallis, một đại biểu sáng chói của calculus diễn ra, và dĩ nhiên Hobbes cuối cùng phải chịu thua.

(1) là các phương trình của Diophantus, nhà toán học thời Hy Lạp hóa ở Alexandria, tác giả của nhiều tập sách có tên Arithmetica (Số học). Số học là môn học dựa trên các số nguyên. Phương trình Phythagoras được biết từ thời Babylon và Ai Cập nhưng không có chứng minh. Nếu đặt a = b = 1 trong (2), thì c sẽ bằng EQUATION: Equation. Con số này rất lạ đối với người Hy Lạp, vì nó không là số nguyên, cũng không phải là tỷ số của hai số nguyên, gọi chung là số hữu tỷ (rational number). Họ gọi EQUATION: Equation là số vô tỷ (irrational number), những khái niệm chúng ta vẫn còn sử dụng đến ngày nay.

May mắn làm sao khi tác phẩm Arithmetica sống sót qua thời gọi là Thời đen tối, được truyền nhiều đời qua thế giới Ả Rập Trung Cổ, rồi đến châu Âu Trung Cổ vào thế kỷ 12, 13. Bản dịch Latinh tốt nhất là do cha dòng Claude Gaspard Bachet (de Méziriac) thực hiện và được xuất bản đầu tiên năm 1621. Bản dịch Fermat sử dụng là do con trai ông xuất bản năm 1670.

Khi đọc Arithmetica, Fermat, nhà toán học “nghiệp dư” nhưng rất tài tình, “cắc cớ” muốn nới rộng ra phương trình (2) cho những số n > 2, và quả quyết rằng phương trình (1) không còn nghiệm số nào nữa. Ông còn ghi tiếp, rằng “tôi đã khám phá một chứng minh thật sự kỳ diệu của định lý (tổng quát này), điều mà lề giấy quá nhỏ để chứa được.” Đấy là sự khởi đầu của một thách thức xuyên thế kỷ.

***

Như đã nói, phải chờ thêm đến sự phỏng đoán (conjecture) có tên Taniyama–Shimura giữa thế kỷ 20, bí mật sâu thẳm của định lý Fermat mới bắt đầu lộ diện. Năm 1955, tức 10 năm sau Thế chiến thứ hai, hai nhà toán học trẻ của Nhật Bản Goro Shimura và Yutaka Taniyama quan sát rằng có thể có một mối liên lạc giữa hai lãnh vực hoàn toàn khác nhau sau đây của toán học:

Giả thuyết Taniyama–Shimura: Mỗi phương trình elliptic đều gắn liền với một dạng modular. (Xem định nghĩa trong sách)

Giả thuyết này nối liền hai ngành quan trọng là tôpô và lý thuyết số. Các nhà toán học dự đoán, giả thuyết này phải đúng. Điều này thoạt đầu chưa liên quan gì đến bài toán Fermat. Nhưng rồi bất ngờ năm 1985, Gerhard Frey, nhà toán học Đức ở Saarbrücken, vẽ ra mối liên hệ bí mật đó. Tại một hội nghị tại Oberwolfach trong Rừng Đen của bang Baden Württemberg, ông biến hóa từ phương trình Pythagor aN + bN = cN cho một trị số N > 2 nhất định, tức giả thiết rằng có một phương trình như thế, thành một phương trình elliptic, và lý luận bằng phương pháp phản chứng (hay còn được gọi là phương pháp gián tiếp), một phương pháp cũng được phát minh từ thời cổ đại, rằng:

Nếu giả thiết phương trình Pythagoras có một nghiệm N > 2, nghĩa là Định lý Fermat là sai, thì sẽ tồn tại một phương trình vốn dạng elliptic, nhưng khá lạ thường, (phương trình elliptic tổng quát có dạng tổng quát y2 = Ax3 + Bx2 + Cx + D), và Frey tiên đoán phương trình này lại không có tính modular.

Từ đó, ta có thể suy ra: giả thuyết Taniyama–Shimura là sai. Cho nên, đi ngược lại: Nếu giả thuyết Taniyama–Shimura được chứng minh là đúng, thì phương trình aN + bN = cN không thể có nghiệm số cho một N > 2, nghĩa là Định lý Fermat là ĐÚNG! Vậy then chốt nằm ở hai phần còn lại này:

1. Chứng minh rằng phương trình dạng elliptic của Frey rút ra từ phương trình Fermat là KHÔNG phải dạng modular.
2. Chứng minh rằng Giả thuyết Taniyama–Shimura là ĐÚNG.

Không phải chỉ Rừng Đen, mà cả thế giới toán học bị chấn động bởi nhận xét trên của Frey. Phần chứng minh đầu (1) sau một năm rưỡi đã được Ben Ribet của Đại học Berkeley nhanh chóng giải quyết. Khi nghe tin này, Andrew Wiles, lúc đó làm giáo sư ở Princeton, thấy như bị “điện giật”, như ông thuật lại (Xem phần Phụ lục của sách, phỏng vấn Wiles), bởi vì ông là người được rèn luyện thành một chuyên gia khá nhuần nhuyễn về phương trình dạng elliptic và lý thuyết Iwasawa với thầy đỡ đầu của ông là John Coates tại Đại học Cambridge, những công cụ mạnh mẽ mà ông sẽ sử dụng. Wiles nhận ra rằng, bài toán Fermat đã hết lạc lõng và nằm đúng trong dòng chảy chính của toán học thế giới, và có manh mối cụ thể để chứng minh. Đó là năm 1986, lúc ông 33 tuổi. Từ đó ông quyết định “đóng cửa phòng” miệt mài làm việc 7 năm liền. Như vậy, bài toán Fermat trở thành: Giải quyết giả thuyết Taniyama–Shimura. Cho dù nếu không đạt tới đích cuối cùng đi nữa, những công lao bỏ ra sẽ không bị phí hoài, ông nghĩ. Giấc mơ thiếu niên muốn giải bài toán Fermat từ lúc mới 10 tuổi của Andrew bừng lên, trở thành nỗi ám ảnh và cuồng nhiệt đối với ông.

Phương pháp lôgic Wiles sử dụng ở đây là phép qui nạp quen thuộc trong toán học sau đây, rất đẹp:

Giả sử chúng ta muốn chứng minh một chuỗi mệnh đề, hay công thức H(n) nào đó, đúng cho mọi n = 1, 2, 3, …. Phương pháp qui nạp nói rằng, bạn cần phải chứng minh được 2 điều sau đây:

a) Mệnh đề đầu tiên H(1) là đúng (điều này thường dễ kiểm tra hơn);

b) Cho n bất kỳ. Nếu giả thiết mệnh đề H(n) là đúng, bạn phải suy ra rằng H(n+1) cũng đúng luôn.

Từ đó bạn có thể an tâm kết luận: Tất cả H(n), n = 1, 2, 3 … đều đúng.

Phương pháp này tránh việc chứng minh trực tiếp H(n) là đúng cho n tổng quát, thường có thể rất rắc rối. Bạn có thể hình dung cờ đôminô: nếu bạn chứng minh được rằng nếu con cờ thứ n bị đổ, con cờ tiếp thứ n+1 cũng sẽ bị đổ theo, cho n tổng quát, thì chỉ cần con cờ đầu bị đổ (điều bạn phải kiểm tra), thì hiệu ứng dây chuyền của nó sẽ là toàn bộ các con cờ cũng sẽ bị đổ theo. Cho nên phương pháp qui nạp trên chúng ta có thể ví như “phương pháp đôminô”. Hay cũng có thể gọi “phương pháp leo cầu thang”: Muốn leo cầu thang được bất tận, bạn phải có hai điều: a) đặt chân được lên bậc thang ban đầu; sau đó, nếu giả thiết bạn đang ở bậc thang n, thì bạn phải chứng minh bạn có thể leo lên bậc thang n + 1 kế tiếp, cho bất cứ trị số n tổng quát.

Chứng minh được bước a) Wiles cần 2 năm. Còn b) ông phải cần thêm 5 năm liền. Tổng cộng 7 năm. Ông phải dùng nhiều công cụ toán học chuyên ngành, trong đó có thuyết nhóm Galois của thế kỷ 19. Tháng 7, 1993 ông tuyên bố đã giải quyết xong, thế giới hoan hô vang dội. Nhưng sau đó, tháng 8, người ta đã phát hiện có một lỗ hổng trong chứng minh. Tin như sét đánh qua đầu! Bao nhiêu công lao có thể “đổ sông đổ biển”. Nhưng không, ông hết sức tin tưởng vào lôgic trong chứng minh của mình, và tin chắc rằng ông đã đi đúng đường, công lao ông không thể phí hoài, vì đó là những bước phát triển rất đẹp, cho dù ông không đạt mục tiêu cuối cùng, cho dù còn thiếu công cụ nào đó để đi đến đích đi nữa.

Wiles đã bỏ ra 8 tháng liền, với sự giúp đỡ của một học trò của ông, Richard Taylor từ Cambridge. Một công việc vô cùng gian nan. Và khi tưởng bỏ cuộc, đầu hàng với số phận, thì, trong sự bình tĩnh nhìn thẳng vào sự việc một lần nữa để hiểu tại sao thất bại trước khi xếp lại, tháng 9, 1994 ông nhận ra lối thoát! Ông và Taylor ngồi lại và viết lối thoát ấy thành một chương độc lập và sau này được công bố riêng kèm vào bản chứng minh của Wiles. Tháng 3, 1995, Wiles chính thức công bố hoàn tất trọn vẹn công trình chứng minh của bài toán Fermat. Ngày ông chứng minh xong, cũng là ngày vợ ông, Nada có sinh nhật, và đó là món quà ông đã tặng vợ, điều ông đã thất hứa một năm trước. Tháng 5, 1995, chứng minh được chính thức công bố trên tạp chí Annals of Mathematics, trong đó có bài riêng của ông và Taylor dành cho việc tu chỉnh. Lúc đó ông 42 tuổi. Chiếc cầu Taniyama–Shimura giữa hai miền toán học khác nhau được thông.

***

Bài toán Fermat đầy kịch tính và huyền bí. Nó cho thấy chiều sâu khủng khiếp của bài toán, và sự kiên nhẫn của con người, và rằng toán học tự nó, một lúc nào đó, khép kín vòng tri thức lại. Nó cũng cho thấy trí tuệ con người là vĩ đại. Wiles đang sống trong thời đại máy tính với trí tuệ nhân tạo có thể đánh bại các đại kiện tướng cờ vua, cờ vây, có thể góp phần vào việc giải quyết nhiều bài toán, như bài toán bốn màu mà không ai có thể kiểm tra được khối lượng trường hợp quá đồ sộ. Nhưng Wiles chứng minh rằng trí tuệ con người vẫn là cái gì đó không thể thay thế được. Ông chỉ làm việc bằng bút chì, giấy, tư duy lôgic, trực giác như từ hơn hai nghìn năm trước của con người. Wiles được sinh ra tại Cambridge, Anh, và khi lớn lên, tốt nghiệp cử nhân tại Đại học Oxford, rồi tiến sĩ tại Đại học Cambridge. Khoảng 300 năm trước Newton đã học và tốt nghiệp thạc sỹ tại Đại học Cambridge. “Bằng tư duy thuần túy, bằng sự tập trung tinh thần, điều bí ẩn, ông (Newton) tin, sẽ bộc lộ ra cho người đã được ‘thọ pháp’ (initiate)”, như nhà kinh tế John Maynard Keynes viết về Newton. Phải chăng Wiles đã được “thọ pháp” vào lúc ông bắt gặp bài toán Fermat ở tuổi lên mười trong một ngày định mệnh tại thư viện trên đường Milton, và từ đó, tiềm thức của ông hoạt động và dẫn dắt âm thầm, rồi ông được thầy mình truyền cho công cụ cần thiết sau này, hay ông đã được tiềm thức dẫn dắt (?), để 30 năm sau ông giải mã bài toán Fermat hoàn toàn? Nếu Newton đứng trên vai những người khổng lồ, thì điều đó cũng tương tự đúng đối với Wiles.

Bài toán Fermat và Andrew Wiles, người “chế ngự” (ảnh năm 1998,Charles Rex Arbogast/AP (Nature)).

***

Một Pythagorean, một Platonist. Wiles là một nhà toán học lý thuyết. Toán học của ông rất trừu tượng. Lý thuyết và trừu tượng là hai đặc tính của nền toán học và tư duy phương Tây. Alfred North Whitehead, một nhà toán học đồng hương của Wiles và từng được đào tạo ở Đại học Cambridge, ca ngợi năng lực tư duy trừu tượng của con người: “Khoa học của toán thuần túy (lý thuyết), trong những sự phát triển hiện đại của nó, có thể khẳng định là sự sáng tạo độc đáo nhất của trí tuệ con người.” Tư duy trừu tượng bắt đầu từ những người Hy Lạp thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên. Họ lột bỏ cái vỏ vật chất khỏi các khái niệm cốt lõi chứa đựng bên trong. Họ chắt lọc khái niệm (concept), ý niệm (idea) từ thực tại vật lý. Khái niệm mới là cái có tính phổ quát, trong khi vật chất thì thay đổi và không bền vững. Tư duy với những khái niệm giúp họ đạt tới tính tổng quát (generality), từ đó họ có triết học. Pythagoras tuyên tố “Tôi là một nhà triết học”. Ông đi từ con số để hiểu thế giới, không màng thế giới vật chất. Tư duy khoa học, toán học, trừu tượng, có giá trị của cái đẹp tự thân. Pythagoras từ nhà toán học trở thành nhà triết học. Plato ngược lại, ông là nhà triết học trở thành người đánh giá cao vai trò của toán học đối với triết học. Tư duy toán học chuẩn bị cho con người bước vào thế giới của các forms – mô thức − cao hơn, độc lập với thế giới vật chất luôn luôn biến đổi. Con đường cứu rỗi để đạt tới Chân – Thiện – Mỹ đi ngang qua toán học. Học toán là sự “thọ pháp” vào Tinh thần của Thượng Đế. Hình học có tác dụng dẫn dắt linh hồn đến chân lý, và tạo ra tinh thần triết học. Điểm, đường thẳng, tam giác, hình vuông và như thế tiếp tục, là những đối tượng của tư duy thuần túy. Số học, cũng theo Platon, “có tác dụng rất lớn và nâng cao, buộc linh hồn lý luận về những con số trừu tượng, và chống lại ảnh hưởng của thế giới của các vật thể hữu hình thâm nhập vào lý luận.” Platon khuyên “những người đóng vai chính yếu của Nhà nước chúng ta nên đi học số học, không phải như tài tử, mà họ phải học cho đến độ họ nhìn thấy bản chất của số bằng cái đầu thôi.” Platon khuyên những nhà lãnh đạo tương lai cần phải học mười năm, từ tuổi 20 đến tuổi 30, các khoa học chính xác như số học, hình học, thiên văn làm căn bản. (M. Kline) Hy Lạp là dân tộc đầu tiên có tinh thần “thượng tôn trí tuệ”. “Những gì chúng tôi những người Hy Lạp nhận được, chúng tôi đều cải tiến và hoàn thiện”, như câu nói nổi tiếng của Platon. Đúng như thế, họ hoàn thiện bằng những tư duy trừu tượng ở giai tầng cao. Andrew Wiles là một trong những người góp phần hoàn thiện những gì nhận được còn dang dở.

***

Những nhà toán học theo học thuyết (tân-) Platon cho rằng chân lý toán học đã có sẵn, cũng như thế giới vật lý, độc lập với con người, từ một quyền năng là “linh hồn thế giới”. Con người chỉ đi tìm và khám phá, không sáng tạo ra cái mới. “Mặc dù chân lý chưa được biết đối với chúng ta, nhưng nó tồn tại trước (pre-exists), và áp đặt lên chúng ta con đường chúng ta phải đi theo, một cách không thể khác hơn” như nhà toán học Jacques Hadamard (1865-1963) phát biểu. Toán học đi tìm thực tế đích thực (true reality) từ những thực thể ý niệm (ideal entities). Thế giới của Platon là thế giới của các thực thể ý niệm, trừu tượng có sẵn, không nằm trong kinh nghiệm, và độc lập với con người. Không phải tất cả, nhưng nhiều nhà toán học tin như thế. “Tôi tin rằng số và hàm số của giải tích không phải sản phẩm tùy tiện của trí tuệ chúng ta: tôi tin rằng chúng tồn tại bên ngoài chúng ta, như cùng tính chất của sự tất yếu, như các vật thể của thực thể khách quan; và chúng ta tìm thấy, hoặc khám phá chúng và nghiên cứu chúng như các nhà vật lý, hóa học và nhà động vật học làm” như nhà toán học Charles Hermite (1822-1901) viết. Đối với ông, các nhà toán học “là những người đầy tớ hơn là những người chủ trong toán học.” Georg Cantor, cha đẻ của thuyết tập hợp, cũng tin như thế: nhà toán học không phát minh nhưng khám phá các khái niệm và định lý. Chúng tồn tại độc lập với tư duy con người. Cantor xem ông là một “người báo cáo” và “thư ký”. (M. Kline) Tuy con người có quyền tự do sáng tạo để đi đến khám phá chân lý, nhưng sáng tạo phải phù hợp với chân lý đích thực tiền định. Einstein cũng nhắc đến Pythagoras và Platon khi ông nói về thái độ triết học cần thiết của người làm khoa học: “Anh ta ngay cả có thể trở thành một Platonist (người theo thuyết Platon) hay Pythagorean (môn đệ của trường phái Pythagoras) trong chừng mực anh ta xem quan điểm của tính đơn giản lôgic như là công cụ hữu hiệu và không thể thiếu trong nghiên cứu của anh ta.”

Học thuyết Platon (Platonism) là dòng triết học có ảnh hưởng mạnh lên các nhà khoa học và toán học sau khi các tác phẩm của Platon được dịch đầy đủ sang tiếng Latinh vào thế kỷ 15 của Phục Hưng, phổ biến rộng rãi vào châu Âu Kitô giáo. Nó “tạo hồn” cho các môn khoa học tự nhiên và toán học, khắc phục chủ nghĩa duy lý khô khan của Aristote, và chủ nghĩa cơ giới cứng nhắc, mechanism đang lên, đại biểu là Descartes và Mersenne. Với quan niệm như “hồn thế giới” (world-soul), hay “Thể Duy nhất” (“One”), nó gần gũi với Kitô giáo, nhưng không phải là tôn giáo. Nó cũng có nét “ma thuật” (magic), phù hợp với trào lưu của thuật giả kim (alchemy). Hệ tư tưởng Platon ảnh hưởng sâu sắc lên những nhà khoa học lớn như Galilei, Kepler và Newton. Thế kỷ 17, từ những năm 1630-1680, Cambridge có một nhóm học giả chịu ảnh hưởng của hệ tư tưởng Platon, được gọi là Cambridge Platonists. Họ, trong nhiều thứ, đề cao lý tính và muốn dung hợp lý tính và đức tin, triết lý tự nhiên mới (khoa học mới) và thiên khải Kitô giáo, trong sự hài hòa của vũ trụ.

Newton đưa ra cách diễn giải cơ chế hoạt động của vũ trụ như những nguyên lý cơ học, nhưng từ chối những “nguyên cớ ban đầu” (first causes) của sự hình thành vũ trụ là cơ học thuần túy. Chúng có gốc rễ sâu xa hơn, mà khoa học cần phải tìm kiếm. Newton tin rằng Chúa đã đặt những đầu mối huyền bí (magic clues) lên thế giới, để cho phép các “huynh đệ bí truyền” (esoteric brethen) làm một cuộc săn lùng kho báu, như nhà kinh tế John Maynard Keynes diễn tả hình tượng. Những đầu mối huyền bí này một phần được tìm thấy trên trời như những chứng cứ hiển nhiên, Keynes viết tiếp, nhưng một phần trong những tư liệu và truyền thống đã được các huynh đệ truyền lại trong một chuỗi không đứt đoạn từ sự khải huyền bí mật ban đầu tại Babylon. Newton nhìn vũ trụ như một mật mã (cryptogram) được Đấng toàn năng tạo ra, và cũng như thế, toán vi tích phân cũng là một mật mã đã được ông khám phá. Thế giới không đơn giản là một cơ chế cơ học thuần túy. Nó có một “linh hồn”.

Có thể nhìn, bài toán của Fermat cũng thuộc dạng “mật mã”, mà dòng suối toán học đã khai sáng từ nguồn ở Babylon, tiếp tục chảy qua các thế kỷ, để đến thế kỷ 20, mang theo nhiều phù sa, với sự tiếp sức của các “huynh đệ” toán học bao đời, và khi đầy đủ, Andrew Wiles, người thừa hưởng những tri thức cần thiết đó, viết lên một bản giao hưởng của chứng minh điều bí ẩn. Cho nên, trong một chừng mực nhất định, Andrew Wiles có thể được xem là một tín đồ của Pythagore và một người theo thuyết Platon. Chẳng phải có cái gì “tiền định” hay sao?

***

Tiến sĩ Lê Quang Ánh, học trò khoa toán của GS. Đặng Đình Áng của Đại học Khoa học Sài Gòn những năm 1960 đầy kỷ niệm, là người kể lại câu chuyện lịch sử toán học từ thời Babylon liên quan đến Định lý sau cùng của Fermat như một “mật mã” cho chúng ta nghe. Ông kể rất sâu sắc, rất có duyên, có hồn, với nhiều chi tiết lịch sử giúp người đọc hiểu được sợi chuỗi đến ngọn ngành. Bạn đọc sẽ luôn luôn ngạc nhiên một cách thú vị từ chuyện này đến chuyện khác. Mỗi chương, hay đề tài, là một câu chuyện hấp dẫn tự nó. Người ta tưởng ông được tắm mình trong dòng suối từ thuở Babylon ấy và chảy đến ngày nay. Đã có hai quyển sách xuất sắc về Định lý cuối cùng của Fermat, một của Simon Singh, và một của Amir Aczel, nhưng bạn đọc sẽ tìm thấy tính độc đáo, khác biệt và mới mẻ trong phần kể chuyện của ông ở đây. Ông viết được như thế, vừa sắc, vừa nhân văn, vừa có tính học thuật, vừa truyền cảm, trên hết và trước hết, là vì ông có tình yêu đích thực cho toán học. Ông rời trường Đại học Sài Gòn, nhưng không rời toán học. Ông rời đất nước, nhưng không xa toán học. Tình yêu này không hề vơi đi bởi ngoại cảnh, mà ngược lại, ông ngày càng củng cố tri thức mình, để “gừng càng già càng cay”, vâng, “càng đậm đà” nữa. Ông tự vun bồi tình yêu ấy một cách thầm lặng và liên tục. Ông như người si tình trao cả tình yêu cho một người con gái quyến rũ, một cách đơn phương, vô điều kiện. Giống như nhà thơ Dante. Chỉ nhìn thấy nàng Beatrice một lần trên cầu Vecchio bắt qua sông Arno ở Florence trước năm 1300 mà nguồn cảm hứng của ông đã dâng trào và trở thành bất tử. Đó chính là tình yêu. Và quyển sách này chính là sự thể hiện tình yêu sâu sắc đó. Xin giới thiệu nồng nhiệt với bạn đọc.

Ngoài ra, trong phần Phụ lục, chúng tôi đính kèm một bài phỏng vấn của NOVA (một chương trình truyền hình Mỹ về khoa học) với Andrew Wiles, trong đó ông thuật lại hành trình và những cảm xúc, tâm lý của ông, từ giờ phút đầu khi được “khai ngộ” cho đến phút cuối “giác ngộ”. Thêm nữa, chúng tôi xin giới thiệu bài viết của nhà toán học Goro Shimura kể lại cuộc đời toán học của người bạn đồng hành tài năng của ông, Yutaka Taniyama, đã tự sát bi thảm ở tuổi 31 sau khi ông trao lại cho Shimura ý tưởng mang tên tiên đoán Taniyama-Shimura. Bài viết cho độc giả thấy bối cảnh xã hội của nước Nhật sau Thế chiến II, và sự phấn đấu vươn lên của những nhà toán học trẻ trong cảnh chật vật đó, cũng như những đặc tính của tài năng vắn số sau khi đã cống hiến phương pháp để giải bài toán Fermat một cách không ý thức. Cái chết tự chọn của Taniyama thật vô cùng khó hiểu. “Giống như Thượng Đế đã thiết kế anh phải làm một nhà toán học trinh khiết, chứ không phải là một người đàn ông của gia đình.”, Shimura viết. Rồi chỉ vài tuần sau, Mikaso, vị hôn thê sắp cưới, cũng tự sát theo, tại cùng căn hộ vừa thuê để làm tổ ấm sắp tới cho hai người. Cô để lại một lá thư, không bao giờ được công bố, nhưng Shimura được biết có đoạn sau đây: “Chúng tôi đã hứa với nhau rằng bất cứ nơi nào chúng tôi đến, chúng tôi sẽ không bao giờ để bị chia ly. Bây giờ anh ấy đã đi rồi, tôi cũng phải đi cùng với anh ấy thôi.”

Chẳng phải thêm một câu chuyện “tiền định” hay sao? Taniyama vừa trao thanh kiếm báu rồi biến mất. Galois cũng thế. Minkowski cũng thế, sau khi trao lại không gian bốn chiều Minkowski của thuyết tương đối, cũng đột ngột ra đi. Chẳng phải là những điều huyền bí hay sao? Chiếc xe vinh quang của toán học kéo qua nhiều quan tài của những người hy sinh, vì lý do này, lý do khác, như một “bản thiết kế” của tinh thần vũ trụ.

Ngoài ra, xin bạn đọc xem thêm quyển Thiên tài và Số phận cũng của TS. Lê Quang Ánh biên soạn do Tủ sách Sputnik phát hành. Một công trình nghiên cứu xuất sắc.