Khởi đầu của máy tính điện tử

Tòa nhà chính của viện nghiên cứu cao cấp Princeton, Fuld Hall. Ban đầu, dự án máy tính điện tử được đặt ở tầng hầm của tòa nhà này.
 

Lời giới thiệu của nhà vật lý Nguyễn Trọng Hiền: 

Thế chiến thứ hai thường được biết đến như là một cuộc chiến mà loài người bắt đầu sử dụng các vũ khí có sức hủy diệt khủng khiếp.  Thế chiến thứ hai còn được biết đến như là “cuộc chiến vật lý,” - từ ngữ của Conant, Viện trưởng Đại học Harvard.  Từ sau cuộc đại chiến này, vật lý lên ngôi.  Năng lượng hạt nhân được sử dụng vào mục đích hòa bình, tên lửa được dùng để phóng vệ tinh hay đưa người lên Mặt trăng, radar được dùng cho giao thông hàng không, và vật lý cơ bản bước vào giai đoạn vàng son, với sự ra đời của các trung tâm gia tốc để nghiên cứu các hạt cơ bản.  Có một phát triển khác từ trong Thế chiến thứ hai ít được biết hơn là sự ra đời của máy tính điện tử.  Trong bài viết dưới đây, David Kaiser kể lại sự ra đời của một trong những máy tính đầu tiên ấy, chế tạo bởi nhà toán học John von Neumann.  

Sự ra đời của máy tính ít được biết đến hơn do có lẽ kém phần hào nhoáng hơn.  Máy điện toán thuở ấy là một hệ thống kềnh càng, rộng lớn bằng cả tòa nhà mà khả năng bộ nhớ chỉ đủ thâu không đầy một giây âm nhạc.  Người ta ít biết đến hơn là phải.  Phải mất gần nửa thế kỷ, kỹ thuật điện toán mới thu nhỏ lại bằng lòng bàn tay, và đạt được mức có thể gọi là siêu việt của điện thoại thông minh ngày nay.  Sự kềnh càng to lớn ấy là do kỹ thuật bán dẫn bấy giờ chưa ra đời.  Người ta phải dùng những “vacuum tube” hay ống chân không.  (Ai còn giữ những chiếc tivi hay radio cũ kỹ có thể tìm thấy những ống chân không này.)  Gọi là ống chân không bởi  không khí trong ống phải được hút ra, để các điện tử - phát ra từ những filament kim loại được hun nóng - có thể hoạt động mà không bị cản trở.  Tựa đề bài viết, “Boiling Electrons” là để ám chỉ những điện tử này.

Thực ra bài viết của Kaiser không hẳn là một tư liệu lịch sử mà chỉ là một bút ký.  Kaiser tình cờ tìm thấy một bảng tích phân cũ kỹ từ những năm thế chiến, bị liệt vào hàng “bí mật quốc gia.”  Đây là bảng tích phân phổ thông mà các sinh viên đại học ngày nay có thể tìm thấy từ các bìa sau của những sách vật lý.  Bài viết là nỗi bâng khuâng nhớ về một thời nhập nhằng của chiến tranh và phát triển vật lý, về những bước đi khập khiễng ban đầu của kỹ thuật điện toán, và về một thế hệ khoa học cha ông anh hùng.

Hai thập kỉ trước, khi đang lục tìm trong kho lưu trữ của một nhà vật lý học, tôi bắt gặp một tài liệu ám ảnh tôi từ đó đến giờ. Đó là một bảng tích phân được đánh máy chữ - một danh sách dài các hàm toán học và kết quả tích phân xác định của hàm cho một số cận dưới và cận trên. Nó giống như những sổ tay và bảng tính toán mà thời sinh viên tôi vẫn thường dùng để giải bài. Thế nhưng, trang bìa của nội dung quen thuộc này lại hết sức bất thường. Trên đó ghi rằng bảng tích phân chỉ được in đúng 31 bản, với danh sách người nhận được ghi rất cẩn thận. Bảng tích phân, ra ngày 24/6/1947, được làm để đi kèm với một báo cáo mật. Danh sách người nhận của hai tài liệu này là một, và hầu như tất cả những người này đã được thẩm tra lý lịch gắt gao để được phép tiếp cận những tài liệu bí mật quốc phòng.   

Có mối liên hệ gì giữa một nội dung chẳng có gì đặc biệt với một trang bìa gây sốc như thế? Thảm họa gì có thể giáng xuống Chính phủ Mỹ nếu như kẻ thù biết được tích phân của x/(1 + x)2 trong khoảng từ 0 đến 1 bằng 0.1931? Hơn nữa, làm sao các cơ quan chức năng có thể kì vọng ngăn chặn việc người ta biết được kết quả toán học cơ bản đấy? Chẳng phải ai học tích phân cũng tính ra được như vậy hay sao?

Bảng tích phân được làm như tài liệu đi kèm cho một báo cáo mật được viết bởi Hans Bethe, nhà vật lý được giải Nobel. (Tôi tìm được cả hai tài liệu này trong đống giấy tờ của Bethe ở Đại học Cornell, New York). Vào những năm 1930, Bethe là một trong những chuyên gia hàng đầu thế giới về vật lý hạt nhân; đến năm 1938, ông đã đưa ra được những phản ứng hạt nhân giúp các ngôi sao phát sáng. Ông là Giám đốc Trung tâm Vật lý Lý thuyết tại Phòng thí nghiệm Los Alamos thời chiến, báo cáo trực tiếp tới Giám đốc Phòng thí nghiệm là J. Robert Oppenheimer. Sau chiến tranh, ông trở về giảng dạy tại Đại học Cornell và vẫn tiếp tục là chuyên gia tư vấn tích cực cho chương trình vũ khí hạt nhân cũng như ngành năng lượng hạt nhân mới hình thành thời điểm đó.

Vào năm 1947, Bethe được đề nghị nghiên cứu về lớp bảo vệ bức xạ cho lò phản ứng hạt nhân. Khi các nguyên tử nặng như uranium hoặc plutonium bị bắn phá bởi neutrons, chúng giải phóng năng lượng – đủ để phát nổ một quả bom hoặc phát điện trong một lò phản ứng – và chúng cũng giải phóng một lượng lớn bức xạ năng lượng cao. Trong quá trình giải quyết vấn đề làm thế nào để ngăn chặn hoặc hấp thụ bức xạ tốt nhất, Bethe nhận ra rằng ông cần tính các tích phân ở một dạng nhất định. Một đồng nghiệp– tiến sĩ vật lý và cựu thành viên dự án Manhattan, lúc bấy giờ là nhà nghiên cứu cao cấp tại một cơ sở lò phản ứng hạt nhân – đã chuẩn bị một bảng tích phân để một số đồng nghiệp có thể tính toán tương tự như Bethe.

Hans Bethe (thứ hai từ trái sang) là nhà vật lý chuẩn bị bản tính tích phân năm 1947. Trong ảnh là khi ông bắt tay Tổng thống Mỹ John F. Kennedy khi nhận giải thưởng Fermi vào năm 1961. Nguồn ảnh: Thư viện Đại học Cornell

Những sổ tay và bảng tính tương tự đã xuất hiện từ hàng thế kỉ trước. Vào thời điểm Cách mạng Pháp, theo nhà sử học Lorraine Daston, các trí thức hàng đầu thời đó đã tạo ra các bảng tính đồ sộ cho các hàm logarit và lượng giác chính xác đến 14 chữ số sau dấu thập phân – chính xác hơn rất nhiều so với yêu cầu của bất kì ứng dụng thực tiễn nào vào lúc đó. Những bảng tính này của Gaspard Riche de Prony là để nhấn mạnh sự hiểu biết của thời kỳ Khai Sáng, thêm một bằng chứng cho sự vinh quang của chủ nghĩa Lý tính, là thứ để người ta ngưỡng mộ hơn là để sử dụng.

Mặc dù bảng tích phân năm 1947 không nhằm để công chúng chiêm ngưỡng của công chúng – thậm chí là ngược lại, thể hiện ở danh sách người nhận được kiểm soát chặt chẽ - tính chất của bảng tích phân này gần với bảng tính của thời kì Prony hơn là thời kì của chúng ta. Thật vậy, phần giới thiệu giải thích cách tính các tích phân: phần lớn được tính bằng cách đổi biến một cách thông minh, nhờ đó mà các hàm trở nên có dạng giống như trong bảng tích phân nổi tiếng Nouvelles tables d’intégrales définies, được phát hành ở Leiden năm 1867 bởi nhà toán học giàu có người Hà Lan là David Bierens de Haan.

Hai năm sau khi thời kì nguyên tử bắt đầu, nhân lực làm tính toán vẫn là một nhóm những học giả tinh túy theo hướng hàn lâm hơn là các kĩ sư theo hướng thực hành. Trong lĩnh vực tính toán người ta cần một thư viện đồ sộ với những quyển sách tự cổ chí kim được viết bằng những ngôn ngữ xa lạ. Và đó là lí do tại sao mà danh sách người nhận của bảng tích phân năm 1947 lại hạn chế đến thế: Mặc dù về lý thuyết, ai cũng có thể tính được các tích phân đó, nhưng công việc tính toán trên thực tế đòi hỏi mất rất nhiều thời gian và công sức. Nhưng không lâu sau khi người đánh máy hoàn thành báo cáo của Bethe và bảng tích phân đi kèm, đặc tính của lĩnh vực tính toán đã thay đổi mãi mãi.

Bối cảnh bất thường cho sự chuyển đổi này chính là Viện Nghiên cứu Cao cấp ở Đại học Princeton, New Jersey. Viện này được thành lập từ năm 1930 với nguồn tài trợ hào phóng của ông trùm sở hữu các trung tâm thương mại Louis Bamberger và người chị Caroline Bamberger Fuld. Những người sáng lập viện, được tư vấn bởi nhà cải cách giáo dục Abraham Flexner, đặt mục tiêu đây là một địa chỉ cho những trí thức trẻ mới nổi có thể đào sâu vào chuyên môn của họ sau khi học xong tiến sĩ, mà không phải bận tâm về công việc trên giảng đường như giảng dạy, nhiệm vụ của hội đồng và những việc tương tự có thể mài mòn sự sáng tạo của họ. Flexner muốn có một nơi yên tĩnh mà các nhà nghiên cứu thoát khỏi những ràng buộc của viện trường như viết giáo án hay viết công bố; một nơi mà họ chỉ cần ngồi và suy tưởng. “Rồi, giờ tôi có thể thấy liệu họ có muốn ngồi như thế không,” – Nhà quản lý khoa học hàng đầu Vannevar Bush châm biếm.

Lễ kỉ niệm sinh nhật 70 tuổi của Einstein tại Viện Princeton. Kurt Godel là người đứng thứ 3, hàng đầu từ trái sang và viện trưởng J.R.Oppenheimer là người đứng thứ hai từ phải sang. Nguồn ảnh: Princeton.edu

Flexner bắt đầu tìm đến những trí thức hàng đầu thế giới phải tha hương vì chủ nghĩa phát xít ở châu Âu để mời họ về viện. Albert Einstein trở thành thành viên phụ trách chuyên môn dài hạn vào năm 1933; tham gia ngay sau đó là nhà logic học thiên tài, cô độc và lập dị Kurt Godel, người vốn được biết đến là chết đói vì một nỗi sợ hoang tưởng rằng người ta sẽ đầu độc mình. Kể cả sau khi Oppenheimer trở thành giám đốc của viện vào năm 1947, người vừa mới quay cuồng trong vị trí giám đốc ở Los Alamos, tinh thần của viện vẫn giống như một tu viện hơn là một phòng thí nghiệm –như một nơi lưu các cuốn Novelles tables d’intégrales bọc da của Bierrens de Haans trên giá sách hơn là để chứa những máy tiện và máy khoan. Phóng viên tờ New Yorker vào năm 1949 đã quan sát thấy rằng viện có một “chút không khí của một ngôi nhà nhỏ đồng quê”. Vào thời điểm đó, Hans Bethe còn khuyên một nhà vật lý trẻ có ý định đến viện làm việc một năm rằng “đừng kỳ vọng quá nhiều điều xảy ra” ở đây.

Nhưng sự bình yên ấy bắt đầu bị phá vỡ bởi các thành viên của một nhóm nghiên cứu mới, sáng lập bởi nhà toán học huyền thoại John von Neumann. Sinh ra ở Budapest năm 1903, von Neumann có công bố đầu tiên khi mới 19 tuổi và hoàn thành tiến sĩ khi mới 22 tuổi, trước khi rời khỏi châu Âu khi đó đang rơi vào khủng hoảng. Flexner nhanh chóng tìm và thu nạp anh vào đội ngũ của viện ngay sau khi Einstein tham gia. Trong giai đoạn chiến tranh, von Neumann chủ yếu ở Los Alamos, làm việc bên cạnh Bethe và Oppenheimer về vũ khí hạt nhân. Chìm đắm trong công việc này, ông dần bị thu hút bởi một tầm nhìn tuyệt vời như của Charles Babbage một thế kỉ trước: xây dựng một cái máy dùng để tính toán. Động lực của von Neuman không chỉ đến từ sự tò mò về cách thức hoạt động của não người và bản chất của nhận thức (mặc dù ông thấy những chủ đề đó rất hấp dẫn). Ông có một mối quan tâm khắc khoải nữa: ông muốn biết các thiết kế đầu đạn hạt nhân khác nhau sẽ nổ hay xịt.

Dự án về vũ khí đã đưa đến cho von Neumann hình dung về một chiếc máy tính bán tự động. Trong số những thách thức mà ông và các đồng nghiệp phải đối mặt là theo dõi, một cách định lượng, những khả năng có thể xảy ra khi các neutron tương tác với một lượng vật chất có khả năng phân hạch. Chúng sẽ bị văng ra, bị hấp thụ, hay làm hạt nhân nặng phân rã? Quan trọng không kém: sóng xung kích từ phần nổ sẽ lan truyền qua lõi quả bom như thế nào? Trong chiến tranh, việc tính toán này phần lớn được thực hiện bởi một chuỗi nhân lực tính toán dùng các máy tính cầm tay hiệu Marchant, một quy trình được ghi trong cuốn sách đáng kinh ngạc của David Alan Grier tên là Khi máy tính là con người (2005). Những nhà vật lý trẻ như Richard Feynman chia nhỏ các tính toán ra thành từng bước tách biệt rồi các trợ lý – thường là những người vợ trẻ của các nhân viên kĩ thuật của phòng thí nghiệm – sẽ xử lý những con số, mỗi trợ lý thực hiện đi thực hiện lại một phép tính. Một người sẽ tính bình phương của một con số được giao; một người khác thì làm phép cộng hai số và chuyển kết quả cho người phụ nữ tiếp theo trong dây chuyền.

Chiếc máy tính ENIAC ở Đại học Pennsylvania được lập trình bởi sáu người phụ nữ.

Quy trình này khá hiệu quả trong giai đoạn chiến tranh để thực hiện các tính toán cho bom phân hạch. Nhưng bom H (bom nhiệt hạch) là một cấp độ hoàn toàn khác – không phải chỉ ở năng lượng nổ mà cả ở khối lượng tính toán. Các diễn biến bên trong quả bom, thúc đẩy bởi sự tương tác tinh tế giữa bức xạ xáo trộn, plasma nóng, các lực hạt nhân, phức tạp hơn rất nhiều để giải mã được. Cố gắng xác định liệu thiết kế này có kích hoạt phản ứng nhiệt hạch – ép các hạt nhân nhẹ kết hợp với nhau như những gì xảy ra trong các ngôi sao, từ đó giải phóng năng lượng phá hủy cao gấp hàng nghìn lần so với bom phân hạch thả xuống Hiroshima và Nagasaki – hay nó chỉ xì xèo thôi đòi hỏi các thách thức tính toán cực lớn. Những tính toán đó không thể được thực hiện bởi một nhóm người với những chiếc máy tính cầm tay. Nó đòi hỏi, như von Neumann kết luận, một phương thức giải một loạt các phương trình tính toán phức tạp cùng lúc một cách tự động. Nó đòi hỏi một máy tính điện tử và kỹ thuật số có thể thực hiện những chương trình được lập trình sẵn.

Một vài trong số những ý tưởng nền tảng đằng sau một chương trình tính toán được lập trình sẵn được phát minh ra trước chiến tranh bởi nhà toán học và mật mã học người Anh Alan Turing, và thật vậy, cái máy tính đầu tiên thực hiện ý tưởng của Turing được hoàn thành bởi một nhóm tại Manchester vào năm 1948. Giống như dự án Manhattan và chương trình radar thời chiến, các ý tưởng khởi nguồn từ người Anh lại được nhân rộng bởi người Mỹ. Một nhóm tại Đại học Pennsylvania và được tài trợ bởi Quân đội Mỹ đã miệt mài nghiên cứu một thiết bị tương tự từ năm 1943, biệt hiệu là ENIAC. Ngay sau chiến tranh, nhóm nghiên cứu ở Pennsylvania này đã có đối thủ, khi von Neumann bắt đầu kiếm được hợp đồng của chính phủ để xây dựng máy tính của ông ở Viện Priceton. Nhóm của ông bao gồm vài kĩ sư trẻ và người vợ tài năng của ông, Klári đã hào hứng tham gia việc tỉ mỉ lập trình mô phỏng bom và theo dõi vận hành máy chạy nhiều ngày liên tục.

Von Neumann đã từng vai kề vai với Turing tại Viện trong những năm 1930 khi Turing đang làm luận án tiến sĩ tại Đại học Princeton gần đó. Trong suốt chiến tranh, von Neumann cũng tư vấn cho ENIAC ở Pennsylvania. Trên thực tế, ông đã giúp đổi hướng của dự án này từ mục tiêu khởi thủy của nó – là tính toán góc ngắm cho phòng thí nghiệm pháo binh – sang việc tính toán các thiết kế cho vũ khí hạt nhân ở Los Alamos. Vào thời điểm đó, máy của Pennsylvania chỉ thực hiện được những chương trình cố định: người dùng phải thiết lập chương trình một cách thủ công bằng cách nối dây giữa các cấu phần bằng tay trước khi bắt đầu thực hiện tính toán. Việc thay đổi chương trình mất hàng tuần lao động chân tay – phải tháo lắp dây cáp, thay đổi các công tắc, kiểm tra và tái kiểm tra các tổ hợp kết nối. Giống như những nhà phát minh của ENIAC, von Neumann muốn tìm cách nào đó mà một chiếc máy tính có thể lưu trữ chương trình của nó cùng với các kết quả tính toán, trong cùng một bộ nhớ. Giống như hình dung của Turing, một chiếc máy như vậy sẽ lưu trữ các lệnh chỉ dẫn và các kết quả tính toán cạnh nhau.

Được thiết kế trước khi transistor ra đời, máy tính của von Neumann cần hơn hai ngàn đèn điện tử chân không phối hợp nhịp nhàng với nhau. Những đèn điện tử này cũng đã là thứ công nghệ lỗi thời cách đây hàng thập kỉ. Chúng tạo ra dòng điện bằng cách nung nóng để các electron bật ra từ một mảnh kim loại – không hề giống với những chiếc điện thoại thông minh hay laptop gọn nhẹ ngày nay. Để giải quyết lượng nhiệt liên tục tỏa ra từ các đèn điện tử, chiếc máy này đòi hỏi một bộ phận làm lạnh khổng lồ, có khả năng tương đương với sản xuất hàng tấn đá mỗi ngày. Với năng lực đáng nể, nhóm nghiên cứu nhỏ nhưng năng động của von Neumann đã đưa chiếc máy tính có kích cỡ bằng một căn phòng trình làng vào cuối những năm 1940. Vào mùa hè năm 1951, chiếc máy này đã hoạt động toàn thời gian để tính toán về H-bomb, chạy không ngừng nghỉ hai tháng mỗi lần. Khi hoạt động hết công suất, chiếc máy tính của Viện có thể sử dụng 5 kilobytes bộ nhớ. Nó tương đương với dung lượng bộ nhớ mà chiếc máy tính ngày nay sử dụng trong nửa giây để nén các file nhạc.

John von Neumann và chiếc máy tính điện tử của ông.

Dự án máy tính của viện được thúc đẩy chủ yếu bởi các hợp đồng từ Ủy ban Năng lượng nguyên tử, cơ quan tiếp nối dự án Manhattan thời hậu chiến. Những hợp đồng đó yêu cầu gần như không một thông tin nào được tiết lộ cho công chúng – điều mà Tổng thống Harry S. Truman nhắc đi nhắc lại khi ông cam kết rằng Mỹ sẽ phát triển bom H. Như một vỏ bọc cho nhiệm vụ chính của họ, nhóm của von Neumann cũng phải nghiên cứu cả những vấn đề không bí mật trên chiếc máy tính mới. Dự báo thời tiết trở thành một bài toán phổ biến. Ngành khí tượng đặt ra rất nhiều loại tính toán dòng chảy phức tạp của chất lỏng mà các nhà nghiên cứu vũ khí cũng phải hiểu trong thiết kế bom H. Một ứng dụng sớm khác của máy tính bao gồm mô phỏng tiến hóa sinh học, mà quá trình tiến hóa phân nhánh rất giống như việc các neutrons phân tán trong thiết bị nguyên tử.

Vào cuối những năm 1950, nhà vật lý và nhà tiểu thuyết C.P. Snow chẩn đoán sự xung đột giữa “hai nền văn hóa”: các nhà trí thức nhân văn và các nhà khoa học tự nhiên. Ở Viện, con quái vật điện tử của von Neuman đã gây ra sự xung đột rõ rệt giữa các nền văn hóa, nhưng không phải là theo những chia rẽ mà Snow nghĩ. Đúng hơn, khoảng cách đó sinh ra từ sự khác nhau trong những quan điểm giữa đời sống học giả độc lập với tinh thần làm việc nhóm của các kĩ sư. Vào năm 1950, ngân sách dành cho dự án máy tính của von Neumann, xuất phát gần như toàn bộ từ hợp đồng quân sự của chính phủ, chiếm gần như toàn bộ ngân sách của Khoa Toán trong viện. Hơn cả vấn đề tài chính, mặc dù nó cũng có, đó là phong cách làm việc. Một nhà toán học tại Viện Marsten Morse viết cho một đồng nghiệp vào đầu những năm 1940, “Về tinh thần, những nhà toán học ở Viện có rất nhiều điểm tương đồng với những nhà nhân văn.” Morse nói tiếp, những nhà toán học “là những cái tôi nghệ sĩ tự do nhất và táo bạo nhất”. Người đồng nghiệp của Morse ở viện, Einstein cũng đồng tình. Xét duyệt một đơn xin việc của một nhà vật lý trẻ ứng tuyển vào Quỹ Guggenheim vào năm 1954, Einstein thấy các đề tài mà anh đề xuất là rất đáng thực hiện nhưng ông cho rằng các chuyến đi nước ngoài là không cần thiết: “Rốt cục thì ai cũng phải tư duy một mình.” Ở viện, dự án chế tạo máy tính không đặt khoa học đối đầu với nhân văn; mà cuộc chiến đó là giữa tư tưởng Thiên tài Lãng mạn với Con người của tổ chức.

Sự khác biệt về ý thức đó còn được thể hiện ở những thứ hữu hình hơn nữa: Dự án máy tính vốn được đặt ở tầng hầm của tòa nhà chính của viện, Fuld Hall – khuất mắt mọi người. Ngay sau đó thì nhóm nghiên cứu máy tính được chuyển đến địa điểm cách xa khỏi những học giả cô độc của viện. Nhưng kể cả tòa nhà mới cũng là một sự thỏa hiệp giữa hai ý thức hệ. Một tòa nhà bê tông đơn giản, đủ chức năng là được như nhà tài trợ chính phủ quan niệm ban đầu không thể nào làm hài lòng khẩu vị của chủ nhân của viện, chính vì thế, viện trả thêm 9000USD (tương đương với 100,000USD ngày nay) để tòa nhà mới được xây theo kiểu gạch cốt véc ni.

Cuối cùng, dự án máy tính của viện trở thành nạn nhân của chính thành công của nó. Von Neumann chuyển sang công việc làm chính sách cho thời kì nguyên tử khi vào năm 1955, ông trở thành một trong năm thành viên của Ủy ban Năng lượng nguyên tử. Khi von Neumann đi vắng, dự án máy tính không còn người đứng đầu liên kết các thành viên nữa. Những trung tâm khác trên khắp cả nước, trong khi đó, bắt đầu có những tiến triển với các máy tính tương tự. Một trong số đó là think-tank RAND, được hậu thuẫn bởi không quân Hoa Kỳ, thậm chí còn dùng tên “Johnniac,” như một cách để vinh danh von Neumann. Von Neumann qua đời vì ung thư vào năm 1957; Dự án máy tính của viện tồn tại lay lắt sau đó một vài tháng trước khi tan rã hoàn toàn vào năm 1958. Vào thời điểm đó, việc tính toán không còn dựa vào những học giả cô độc chìm đắm vào những bảng tích phân cũ rích nữa. Kỷ nguyên của máy tính đã đến.

Tôi đọc lại ghi chép của Bethe vào năm 1947 và bản tích phân đi kèm trước đây vài năm khi đang đi qua vùng đồng quê Montana. Một lốp của chiếc xe tôi thuê đã vướng vào một cái đinh nằm đâu đó giữa Bozeman và Kalispell. Khi tôi chờ thợ sửa chữa tới để tôi có thể tiếp tục lên đường, tôi mở laptop và bắt đầu tính lại một vài tích phân được giữ bí mật cẩn thận 65 năm trước. Ngày nay, một chương trình máy tính bình thường trên các laptop phổ thông có thể tính những tích phân đó trong vòng micro giây – giới hạn duy nhất chỉ là tốc độ đánh máy của người dùng thay vì năng lực tính toán của máy tính. Trong khi bảng tích phân năm 1947 chỉ có kết quả đến bốn chữ số thập phân, laptop của tôi trả về kết quả tới 16 chữ số nhanh hơn cả tốc độ nháy mắt. Nhấn thêm vài phím nữa là tôi có thể có bất kỳ kết quả tôi cần tới 30 chữ số thập phần. Không cần phải có một thư viện hoành tráng, không cần phải dụng công dùng tới công trình của các học giả Hà Lan. Tôi chỉ cần ngồi ở gara sửa xe, bên con đường đầy bụi và tính toán.