Toán học trong dịch bệnh và tiêm phòng

Việc tiêm chủng không chỉ là vấn đề y tế và xã hội mà còn là một vấn đề Toán học. Mô hình toán đầu tiên về việc lan truyền bệnh dịch và tiêm phòng đã được ông Daniel Bernouli nghiên cứu vào thế kỷ XVIII. Hiện nay, các nhà nghiên cứu bệnh dịch dựa trên mô hình lần đầu do hai nhà khoa học Ailen, các ông Anderson McKendrick và William Kermack đề xuất vào năm 1927. Cả hai ông đều không phải chuyên về Toán vì người thứ nhất là bác sỹ, còn người thứ hai là một nhà hóa sinh, ông này phải tính toán bằng trí nhớ vì bị mù sau một tai nạn trong phòng thí nghiệm năm 1924.

Ta hãy theo dõi cách suy nghĩ của họ. Về nguyên tắc thì việc lây bệnh có thể tính bằng đếm ngón tay. Để đơn giản, ta hãy giả thiết là mỗi người bệnh trước khi khỏi (hay chết, vì nó cũng có thể xảy ra) lây bệnh trung bình cho hai người khỏe mạnh. Từ hai người này lây thành bốn người, rồi bốn thành tám…Số người bệnh tăng gấp đôi trong mỗi bước và tăng rất nhanh, các nhà toán học nói bệnh lây theo hàm số mũ (ở đây là 2 mũ n), với n là số người bị lây và truyền bệnh cho người khác. Việc lây truyền này cũng giống như việc lan tỏa thư rác (spam) trên mạng Internet. Sau 20 bước, số người bị bệnh đã vượt con số một triệu và đến bước thứ 25 thì hầu như toàn bộ dân số Ba Lan (gần 40 triệu dân).

Tất nhiên là trong thục tế sẽ không xảy ra như thế, vì có lúc xung quanh người bệnh chỉ có toàn những người đang mắc bệnh (hay những người đã khỏi bệnh và đã có sức đề kháng), vậy anh ta không lây được cho ai.

Quá trình phát triển lây bệnh có thể viết ở dạng một phương trình vi phân (mà các ông McKendrick và Kermack đã làm), phương trình này đáng tiếc là không thể giải trên giấy mà phải dùng các phương pháp số.

Nhưng hiển nhiên là cả khi không có máy tính, ta cũng biết là để chống bệnh phải giảm số người bị lây mới. Có thể làm việc này theo hai cách: một là hạn chế người ốm tiếp xúc với người khỏe (ví dụ khoanh vùng đưa họ vào một khu vực riêng), hai là chữa cho họ thực nhanh để họ không kịp lây cho người khác. Cả hai cách này đều khó thực hiện và tốn kém.

Cách rẻ nhất và có hiệu quả nhất là tiêm phòng. Nhờ đó, trong xã hội có một số lượng phần trăm lớn những người có sức đề kháng với bệnh. Khi đó nếu có ai bị bệnh thì sẽ không xảy ra việc tăng nhanh các bệnh nhân. Ta gọi đây là sức đề kháng tập thể.

Vậy cần có bao nhiêu người trong số dân của một vùng cần được tiêm chủng để không phát sinh bệnh dịch? Việc này phụ thuộc vào một hệ số gọi là hệ số cơ sở của việc sinh sôi. Hệ số này khác nhau với mỗi loại bệnh dịch và mỗi vùng. Ý nghĩa của nó rất đơn giản: nó cho ta số người trung bình mà một cá thể mắc bệnh có thể làm lây bệnh. Với ví dụ như đã nêu ở trên, hệ số sinh sôi bằng 2.

Vậy để dịch bệnh không tăng theo hàm số mũ, số người trung bình mà người bệnh có thể lây cho họ phải nhỏ hơn 1. Lũy thừa của một số nhỏ hơn một (ví dụ lấy bình phương lên) sẽ giảm dần về không, có nghĩa là dịch bệnh bị tắt.