Hình học Penrose trong nghệ thuật

Sir Penrose tại bảo tàng quốc gia về Toán tại New York và mẫu lát gạch Penrose chỉ sử dụng 2 hình thoi ghép lại có đối xứng quay 1/5 vòng tròn.

Quí ngài Roger Penrose (Sir Roger Penrose) nổi tiếng trên thế giới với các công trình nghiên cứu về vật lý và là một ngôi sao sáng trong lĩnh vực toán hình học. Ông được trao tặng rất nhiều giải thưởng danh giá. Năm 2020 ông được trao tặng một nửa giải Nobel Vật lý cho „chứng minh sự hình thành của lỗ đen là một hệ quả tất yếu của thuyết tương đối tổng quát”. Ông là người đầu tiên chứng minh nó bằng toán học.
Không chỉ những đóng góp to lớn đối với thuyết tương đối tổng quát và vũ trụ học, hình học Penrose còn lấn sân thành công sang cả hoá học. Và không chỉ trong lĩnh vực khoa học, hình học Penrose còn thành công rực rỡ trong…nghệ thuật.

Sir Roger Penrose là ai?

Câu trả lời sẽ phụ thuộc vào người mà bạn hỏi.
Penrose rất đa tài và rất thành công trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Một nhà toán học sẽ nói với bạn rằng ông là “người đã phát minh ra cách lát gạch mang tên Penrose” (Penrose tiling), là cách sắp xếp các hình lập lại (gọi là gạch) để bao phủ một mặt phẳng, hay gọi nôm na là xếp gạch hay lát gạch Penrose.
Một nhà thiên văn lẽ dĩ nhiên sẽ hào hứng kể rằng „sự tồn tại của các hố đen đã được Penrose chứng minh, nó không còn là chuyện viễn tưởng nữa”.
Rất nhiều các nhà khoa học sẽ trả lời bạn một cách ngắn gọn là „Penrose là một trong 3 nhà khoa học nhận giải Nobel Vật lý năm 2020”.
Một nhà hóa học sẽ bàn luận rằng „đáng lý ra Penrose phải được cùng chia thêm cả giải Nobel Hóa Học về giả tinh thể”, vì lát gạch Penrose là nền tảng toán học cho nghiên cứu về giả tinh thể (quasicrystal) khi đề tài này đã được trao giải Nobel Hóa Học năm 2011.
Một nhà triết học sẽ hứng thú thảo luận với bạn về „lý thuyết Penrose về ý thức của con người” (hay động vật) và về lập luận của Penrose rằng ý thức cao hơn các hiện tượng tự nhiên và các lý thuyết vật lý không đủ để giải thích ý thức.
Thế nếu bạn không có cơ hội hỏi những nhà khoa học, mà chỉ hỏi giới hội họa hay kiến trúc thì sao? Bạn có nhận được câu trả lời nào không? Điều hết sức thú vị là có.
Khi bạn hỏi một kiến trúc sư về Penrose, rất có thể bạn không nhận được câu trả lời, mà ngược lại, kiến trúc sư sẽ hỏi lại "thế bạn đã nghe nói về các cấu trúc bất khả thi Penrose chưa?”
Một họa sĩ sẽ trả lời rằng „Penrose là người đã sáng tạo ra cầu thang bất khả thi, một ý tưởng trở thành nền tảng của tác phẩm nổi tiếng “Đi lên và đi xuống” (Ascending and Descending, khi dịch đúng nghĩa sẽ là "Tăng dần và giảm dần”)) của Maurits Cornelis Escher (M.C. Esher)-nghệ sĩ đồ họa người Hà Lan nổi tiếng với những bức tranh khắc gỗ và in thạch bản dựa trên cảm hứng đối xứng từ toán học.

Lát gạch Penrose (Penrose tiling)
Lát gạch là gì?

Nói nôm na thì là việc ốp lát các viên gạch cạnh nhau để che phủ một khu vực nhất định, chẳng hạn như sàn phòng tắm hoặc tường nhà bếp.
Trong toán học, lát gạch có nghĩa là bao phủ một mặt phẳng bằng các hình (gọi là gạch) mà không để lại khoảng trống nào hoặc các hình không bị chồng chéo lên nhau.
Nếu có thể xếp gạch sao cho họa tiết gạch lặp đi lặp lại đều đặn theo mọi chiều trong không gian, thì việc lát gạch đó được gọi là lập lại theo chu kỳ (periodic) hay là sắp xếp định kỳ. Sắp xếp định kỳ có đối xứng phản xạ, đối xứng quay và cả đối xứng tịnh tiến, tức là sự lặp lại có thể nhìn thấy tại bất cứ điểm nào trong không gian và dưới các góc độ khác nhau. Còn nếu xếp gạch mà họa tiết gạch không lặp lại đều đặn, việc lát gạch gọi là lập lại không theo chu kỳ (aperiodic). Nó có đối xứng phản xạ và quay, nhưng lại thiếu đối xứng tịnh tiến, khi việc di chuyển bất kỳ lát gạch nào theo đường thẳng với bất kỳ khoảng cách hữu hạn nào sẽ không thể tạo ra sự lập lại của nó.
Một trong những câu hỏi trong hình học là liệu có thể tạo ra một mẫu không bao giờ lặp lại chính nó bằng cách sử dụng một số lượng hữu hạn các loại gạch khác nhau không? Câu trả lời là có.
Ai cũng có thể dễ tưởng tượng ra việc dùng hình tam giác đều ghép lại với nhau để bao phủ một mặt phẳng. Hình tam giác có đối xứng quay 1/3 vòng tròn (góc quay 120 độ), nghĩa là sau khi quay một góc 120 độ quanh trục thẳng góc xuyên qua tâm của tam giác, thì nó vẫn là nó, có nghĩa là nó lập lại vị trí ban đầu của nó, tức là hình sau khi quay trùng khớp hoàn toàn lên hình ban đầu. Dùng hình tứ giác đều (hình vuông, hình chữ nhật hay hình bình hành đều) và đối xứng quay 1/4 vòng tròn (góc quay 90 độ), hay hình lục giác đều và đối xứng quay 1/6 vòng tròn (góc quay 60 độ) để ghép lại với nhau cũng có thể bao phủ một mặt phẳng một cách dễ dàng. Các mặt phẳng này không những có đối xứng phản xạ và quay, mà có cả đối xứng tịnh tiến, tức là có sự lập lại cả theo đường thẳng.
Tuy nhiên khi các hình ngũ giác đều ghép lại với nhau và đối xứng quay 1/5 vòng tròn (với góc quay là chẵn 72 độ) thì lại không thể lấp đầy được một mặt phẳng, vì có những khoảng bị hở giữa các hình ngũ giác, hoặc một số ngũ giác bị chồng lên nhau. Mà không chỉ hình ngũ giác, hình bát giác đều và đối xứng quay 1/8 vòng tròn (góc quay chẵn 45 độ), hình thập giác đều và đối xứng quay 1/10 vòng tròn (góc quay chẵn 36 độ) cũng không lấp đầy được mặt phẳng.

Hình tam giác đều, hình vuông và hình lục giác đều có thể lấp đầy một mặt phẳng, còn hình ngũ giác đều thì không, vì có những khoảng hở, hoặc bị chồng lên nhau. Chẳng hạn như khi lấp đầy khoảng trống giữa hình ngũ giác màu vàng bên phải phía dưới (1) và trung tâm (C) (tương tự khoảng trống đánh dấu bằng mũi tên) bằng hình ngũ giác màu xanh, thì ngũ giác (1) bị chồng lên ngũ giác xanh. Khi ngũ giác xanh được ghép cùng cạnh với ngũ giác vàng (2) thì ngũ giác (1) vẫn chồng lên ngũ giác xanh và lại có khoảng hở giữa (1) và (C ). Minh hoạ của tác giả.

Không ai biết cách xếp các hình lập lại với các hình ngũ giác với đối xứng quay 1/5 vòng tròn. Cho tới năm 1974, Penrose đã chứng minh được rằng có rất nhiều cách sắp xếp với đối xứng quay 1/5 vòng tròn để bao phủ một mặt phẳng vô hạn, mà không có khoảng hở, hoặc không bị chồng chéo. Chúng gắn vào nhau một cách hoàn hảo, xoắn và xoay trong mặt phẳng, trông có vẻ như lặp đi lặp lại mà lại không phải thế.
Khám phá quan trọng của Penrose là dùng các hình khác nhau và kích thước khác nhau, chứ không chỉ dựa trên chỉ một mẫu hình giống nhau.
Phiên bản đầu tiên do Penrose làm ra có 6 mẫu gạch với 3 hình ngũ giác, hình ngôi sao 5 cánh, hình thuyền buồm (3 cánh sao), và hình thoi. Sau này ông rút số mẫu gạch xuống thành 2. Chỉ cần 2 mẫu hình thoi, hoặc 2 mẫu với một hình phi tiêu và một hình cánh diều để lấp đầy mặt phẳng.
Dùng các gạch với hình khác nhau và kích thước khác nhau, gắn liền vào nhau một cách hoàn hảo, có thể tạo ra vô số những mẫu lát gạch rất khác nhau và rất độc đáo.

Phiên bản đầu tiên do Penrose tạo ra có 6 mẫu gạch lập lại gồm ba hình ngũ giác (giống nhau nhưng được đánh dấu 3 màu khác nhau) màu đỏ, xanh và xám, một hình ngôi sao màu xanh lá cây, một hình thuyền buồm màu xanh nhạt và một hình thoi mầu vàng (trái), và phiên bản chỉ cần hai mẫu gạch: một cánh diều màu trắng và một phi tiêu màu xanh (giữa) hay hai 2 mẫu hình thoi màu xanh nhạt và xanh lá cây (phải).

Mẫu lát gạch Penrose mô tả nổi bật sự không lập lại khi bao phủ một mặt phẳng vô hạn. Các gạch gắn liền vào nhau một cách hoàn hảo trông có vẻ như lặp đi lặp lại mà lại chẳng phải thế.

Lát gạch Penrose đã làm thay đổi hiểu biết cơ bản của chúng ta về thiết kế. Nó cho thấy rằng có vô hạn các cách tạo ra sự sắp xếp có trật tự. Đặc biệt nhất là Penrose đã tìm ra muôn vàn các cách bao phủ một mặt phẳng mà chỉ bằng hai loại hình gạch. Thậm chí còn rất ngoạn mục là ở chỗ những hình gạch của ông đều có hình dạng đơn giản và đối xứng mà chẳng hề mang đặc tính bất thường nào.

Lát gạch Penrose và giả tinh thể (quasicrystal)

Năm 1982, Dan Shechtman-nhà vật lý người Israel trong thời gian làm việc ở Viện Tiêu chuẩn quốc gia Hoa Kỳ ở Washington D.C. và nghiên cứu các hợp kim chứa nhôm và mangan, đã phát hiện ra một cấu trúc đối xứng vòng tròn 10 nguyên tử của hợp chất Al6Mn, nhưng không lập lại tuần hoàn như tinh thể. Paul Steinhardt-nhà vật lý lý thuyết Mỹ và Dov Levine (khi đó là học trò của Steinhardt) trong bài báo xuất bản năm 1984 lần đầu tiên đưa ra khái niệm về giả tinh thể (quasicrystal), một dạng của chất rắn với các đối xứng quay giống như cách sắp xếp của Penrose. Ví dụ là hợp chất mà Shechtman đã phát hiện ra có cấu trúc 10 nguyên tử sắp xếp đối xứng quay theo 1/5 vòng tròn trên một mặt cầu.
Năm 2011 giải Nobel hóa học được trao tặng cho Schechtman về phát hiện giả tinh thể. Cách sắp xếp gạch Penrose chính là nền tảng toán học cho nghiên cứu về giả tinh thể. Nói một cách đơn giản là giả tinh thể là phiên bản sắp xếp trong không gian 3 chiều của cách xếp gạch Penrose hai chiều. Nên nhiều người nghĩ rằng Penrose rất xứng đáng được trao tặng một phần của giải Nobel cho giả tinh thể.
Ban đầu các nhà khoa học nghĩ rằng giả tinh thể chỉ có thể là vật liệu được tạo ra trong điều kiện ở phòng thí nghiệm, chủ yếu là các hợp kim chứa các kim loại chuyển tiếp khi được làm lạnh thật nhanh từ nhiệt độ nóng chảy. Sau đó, họ tìm ra được giả tinh thể trong tự nhiên, trong bộ sưu tập Khoáng vật học của Đại học Florence, là các hạt với kích thước micro-mét (1/1000 milimét) có thành phần hóa học là Al63Cu24Fe13 hay Al71Ni24Fe5 và có nguồn gốc từ thiên thạch Khatyrka.

Ảnh trái: cấu trúc nguyên tử của giả tinh thể chứa nhôm, palad và mangan (Al-Pd-Mn) tạo trong phòng thí nghiệm. Ảnh phải: hình ảnh nguyên tử của một hạt có kích thước micromet của tinh thể Al71Ni24Fe5 tự nhiên từ thiên thạch Khatyrka. Cả hai vật liệu giả tinh thể có đối xứng quay 1/10 vòng tròn.

Hoa văn kiến trúc với đối xứng quay 1/5 vòng tròn

Kiểu lát gạch Penrose gợi nhớ các hoa văn hình học được sử dụng trong kiến trúc Hồi giáo đã có từ gần 600 năm trước. Các nghệ nhân và kiến trúc sư từ thế kỷ 15 đã sử dụng toán học phức tạp để tạo ra các mẫu hình học tô điểm cho các nhà thờ Hồi giáo, cung điện và các tòa nhà. Ví dụ như cổng vòm của đền thờ Darb-i Imam ở Isfahan, Iran, được xây dựng vào năm 1453, hay cổng vòm bên trong khu Sultan của nhà thờ Hồi giáo ở Bursa, Thổ Nhĩ Kỳ xây từ năm 1424. Nó bao gồm cả sắp xếp có đối xứng quay 1/5 và 1/10 vòng tròn, sử dụng cả hình ngũ giác, hình cánh diều. 

Kiểu lát gạch với đối xứng quay theo 1/5 vòng tròn và 1/10 vòng tròn ở cổng vòm đền thờ Darb-i Imam ở Isfahan, Iran, được xây dựng vào năm 1453 (trái) hay ở cổng vòm bên trong khu Sultan của nhà thờ Hồi giáo ở Bursa, Thổ Nhĩ Kỳ xây từ năm 1424 (phải).

Các vật thể bất khả thi của Penrose

Penrose không chỉ chú trọng vào hình học thực tế như cách lát gạch Penrose kể trên, mà ông còn quan tâm đến hình học ảo giác, khi tạo ra các vật thể bất khả thi.
Thông thường, bản vẽ hai chiều được thực hiện với tỉ lệ nhất định để tạo ra ảo ảnh thị giác về chiều sâu, với mục đích truyền đạt ấn tượng về vật thể ba chiều. Trong một số trường hợp nhất định, bản vẽ hai chiều lại được sử dụng để tạo ra một nghịch lý thị giác.
Năm 1958, trong bài báo dài 3 trang có tiêu đề “Các vật thể bất khả thi: một loại ảo ảnh thị giác đặc biệt” (Impossible Objects: A Special Type of Visual Illusion) xuất bản ở Tạp chí Tâm lý học của Anh, hai đồng tác giả là Roger Penrose và cha ông là Lionel Penrose đã trình bày các cấu trúc bất khả thi. Đó là bản vẽ 2 chiều của các vật thể (dường như là) 3 chiều. Nhưng thực ra nó chỉ là ảo ảnh thị giác của một cấu trúc không thể tồn tại thực sự trong không gian, khi mà sự kết nối các phần của nó để làm nó trở thành vật thể 3 chiều là không thể. Nói một cách khác, bộ não của chúng ta đã chuyển đổi hình ảnh hai chiều nhìn thấy bằng mắt (thị giác) thành hình ảnh một vật thể 3 chiều không hề tồn tại (ảo ảnh).
Một trong những cấu trúc mà họ mô tả gọi là tam giác Penrose (Penrose triangle) hay tam thanh Penrose (Penrose tribar), hoặc là tam giác bất khả thi. Đó  là một cấu trúc bất khả thi có hình tam giác trong mặt phẳng (hình vẽ trong không gian hai chiều) được tạo bởi ba cột có mặt cắt ngang là hình vuông, và ba cột này nối với nhau tại 3 đỉnh của tam giác theo góc vuông. Từng cột một thì là cột có hình khối vuông. Từng cặp một thì có thể nối vuông góc với nhau được. Nhưng cả ba cột thì không thể nối được với nhau. Sự kết nối này là bất khả thi trong không gian 3 chiều. Hay nói cách khác là tam giác Penrose không thể tồn tại như là một vật thể có thực trong không gian. Hình vẽ hai chiều của nó chỉ là ảo ảnh thị giác.

Tam giác Penrose hay còn gọi là tam giác bất khả thi (ảnh nguyên tác (trái) và ảnh mô phỏng rõ sự kết nối góc vuông của các cột vuông ở cả 3 đỉnh của tam giác (giữa)) sáng tạo năm 1958, hoàn toàn độc lập với mẫu vẽ đầu tiên của Reutersvärd vào năm 1934 mà sau đó được vinh danh in trên tem của bưu diện Thụy điển năm 1982.

Cấu trúc bất khả thi khác là cầu thang Penrose (Penrose stairs) hay bậc thang Penrose (Penrose steps), hoặc là „cầu thang liên tục”. Nó bao gồm bốn khúc thang có các bậc thang, được nối với nhau bằng góc vuông 90 độ tạo thành vòng lặp lại liên tục.
Một người có thể chỉ leo lên các bậc thang liên tục không ngừng nghỉ, hoặc là leo xuống liên tục theo hướng ngược lại. Nghĩa là sau khi đi lên (hoặc đi xuống) liên tục các bậc thang và hoàn thành một vòng quay, ta sẽ quay trở lại đúng điểm xuất phát ở độ cao ban đầu, rồi lại tiếp tục đi lên hay đi xuống quay vòng như thế đến vô hạn. Điều này rõ ràng là không thể được trong không gian ba chiều.
Penrose miêu tả trong bài báo rằng mỗi phần của cấu trúc là một khúc thang với các bậc thang thật. Nhưng khi nối kết cả bốn khúc lại với nhau thì lại là không thể được, khi cầu thang này có các bậc thang đi xuống một cách liên tục theo chiều kim đồng hồ, hoặc liên tục đi lên ngược chiều kim đồng hồ, mà độ cao của cả bốn điểm tương ứng của 4 khúc cầu thang là như nhau, không thể lên cao hơn hay xuống thấp hơn.

Cầu thang bất khả thi Penrose mô tả trong bài báo xuất bản năm 1958 (trái) hoàn toàn độc lập với cầu thang tạo bởi Reutersvärd vào năm 1937.

Hai cha con Lionel Penrose và Roger Penrose đã phát triển tam giác và bậc thang bất khả thi một cách hoàn toàn độc lập với hình mẫu đã được Oscar Reutersvärd-nghệ sĩ đồ họa người Thụy Điển tạo ra trước đó. Reutersvärd được mệnh danh là "cha đẻ của những hình khối bất khả thi”. Năm 1934, ông tạo ra tam giác bất khả thi đầu tiên từ một loạt khối hình lập phương. Năm 1937, ông đã tạo ra mẫu bậc thang bất khả thi. Trong nhiều năm, Reutersvärd đã sáng tạo ra hàng nghìn hình bất khả thi. Hội đồng nghệ thuật Thụy điển đã vinh danh ông và một số tác phấm của ông được in trên tem bưu điện năm 1982, trong đó có tam giác và bậc thang bất khả thi.
Tam giác và cầu thang bất khả thi chỉ được biết đến rộng rãi chỉ sau bài báo của hai cha con Penrose. Roger Penrose chỉ phát hiện ra công trình của Reutersvärd vào năm 1984.

Penrose và tác phẩm nghệ thuật của họa sĩ M.C. Esher

Nhiều người trong chúng ta ngưỡng mộ những tác phẩm tuyệt đỉnh của nghệ sĩ đồ họa người Hà Lan M.C. Escher. Nhiều tác phẩm dựa trên phối cảnh dùng đối xứng hình học gây ấn tượng trái ngược, thậm chí là gây sốc về nhận thức và làm trí óc bối rối. Nhưng có lẽ ít người biết rằng cảm hứng cho một số tác phẩm nổi tiếng nhất của ông, cụ thể là tác phẩm “Đi lên và đi xuống” (Ascending and Descending) vẽ năm 1960 và “Thác nước” (Waterfall) vẽ năm 1961, lại bắt nguồn từ bài báo gồm 3 trang của hai cha con Penrose xuất bản năm 1958.

Roger Penrose từng được giới thiệu về các tác phẩm của Escher khi ông dự đại hội các nhà Toán học quốc tế ở Amsterdam năm 1954. Cách sử dụng đối xứng của Esher đã cuốn hút ông. Ông đã hoàn toàn bị mê hoặc bởi „sự ngưỡng mộ từ mắt nhìn và sự bối rối của trí óc” của các tác phẩm của Esher. Khi trở về Anh, ông quyết định tự mình tạo ra một thứ "bất khả thi". Sau khi thử nghiệm với các thiết kế khác nhau của các thanh hay cột chồng nối lên nhau, cuối cùng ông đã tạo ra được tam giác bất khả thi. Roger đưa các bức vẽ cho cha mình xem. Ngay lập tức Lionel đã tạo ra một số biến thể khác, bao gồm cả cầu thang bất khả thi. Họ muốn công bố những phát hiện này, nhưng lại không biết chủ đề này thuộc lĩnh vực nào. Do vì Lionel Penrose là một bác sĩ tâm thần và có quen biết biên tập viên của tạp chí Tâm lý học Anh (British Journal of Psychology), nên họ gửi bản thảo đến tạp chí này, trình bày nó như là một chủ đề tâm lý học. Trông bài báo, họ cũng đề cập tới Esher với việc tạo nên ấn tượng trái ngược trong các tác phẩm của ông.
Tại một triển lãm của Escher ở Rome vào năm 1985, Roger Penrose cũng nhắc lại rằng ông đã được truyền cảm hứng rất nhiều từ các tác phẩm của Escher khi ông và cha mình khám phá ra tam giác Penrose và cầu thang Penrose.
Vào những năm 1950, Escher chưa hề vẽ bất kỳ hình vẽ bất khả thi nào. Thậm chí ông còn không nhận thức được sự tồn tại của chúng. Sau khi xem cầu thang bất khả thi trong bài báo của Penrose (năm 1958), ngay những năm sau đó Esther đã tạo dựng hai tác phẩm nổi tiếng kể trên.
Trong tác phẩm thạch bản in  "Đi lên và đi xuống”, trên không gian kiểu sân thượng của một tòa nhà như là trong một lâu đài lớn, là một cầu thang liên tục, một đoàn người đang liên tục leo lên các bậc thang (theo chiều kim đồng hồ) và một đoàn khác đang đi xuống liên tục (ngược chiều kim đồng hồ). Nghịch lý là ở chỗ cầu thang dốc lên khi đi theo một hướng của vòng quay và hạ xuống khi đi theo hướng khác, sau khi đi cả 4 khúc thang với các bậc thang, hoặc chỉ đi lên hoặc chỉ đi xuống và hoàn thành một vòng quay, mà lại quay về được đúng điểm xuất phát Ban đầu và ở cùng một độ cao. Đó chỉ là ảo giác, chứ cầu thang kiểu này không thể tồn tại trong thực tế, là cầu thang bất khả thi.

Tác phẩm "Đi lên và đi xuống" của M.C. Esther sáng tác năm 1960 và hình phóng to của phần cầu thang bất khả thi, khi một đoàn người đi lên tiếp tục theo chiều kim đồng hồ và một đoàn khác đi xuống tiếp tục ngược chiều kim đồng hồ, mà sau một vòng quay sau khi đi cả 4 khúc thang với các bậc thang, chỉ đi lên hoặc đi xuống, mà lại quay về đúng độ cao ban đầu.

Trong khi Penrose ghi nhận Escher trong bài báo của họ, Escher cũng ghi nhận ý tưởng tác phẩm của ông là bắt nguồn từ bài báo của Penrose. Trong bức thư gửi con trai vào tháng 1 năm 1960, Escher ông đã viết: „cha đang thiết kế một bức tranh mới, trong đó có một đoạn cầu thang chỉ hoàn toàn đi lên hay hoàn toàn đi xuống, tùy thuộc vào cách mọi người nhìn nó. Cầu thang tạo thành một công trình khép kín, giống như một con rắn đang ngậm đuôi mình. Và chúng có thể được vẽ một cách chính xác: bậc sau cao hơn (hoặc thấp hơn) bậc trước….Cha đã khám phá ra nguyên lý này từ một bài báo được gửi cho cha, và trong bài báo đó cha được đề cập đến như là người tạo ra nhiều ấn tượng trái ngược”.
Escher hoàn toàn bị quyến rũ bởi những bậc thang liên tục lập lại. Trong bức thư ông gửi thư cho Penrose vào tháng 4 năm 1960, ông viết „Cách đây vài tháng, một người bạn của tôi đã gửi cho tôi bản sao bài báo của hai ông... Hình 3 và 4 trong bài, 'các bậc thang liên tục' hoàn toàn mới mẻ với tôi và nó đã thu hút tôi. Nó đã truyền cảm hứng cho tôi để tạo ra một bức tranh mới này”.
Bản in thạch bản „Thác nước” của M.C. Escher mô tả hệ thống dẫn nước. Nước từ trên cao đổ như thác xuống guồng xe nước rồi chảy vào mương dẫn nước ở phía sau. Mương nước bị bẻ gập theo góc vuông 3 lần, đầu tiên ngoặt sang trái, tiếp đó là sang phải, rồi đến đoạn thẳng, và cuối cùng lại ngoặt sang trái. Người xem nhìn xuống cảnh thác nước theo đường chéo, và từ góc nhìn của người xem, mương dẫn nước dường như nghiêng lên trên.

Tác phẩm "Thác nước" của M.C. Esther sáng tác năm 1961 và mô hình thác nước chỉ rõ nghịch lý là nước từ chân thác chảy dọc theo mương nước mà rồi lại chảy ngược lên được đỉnh thác rồi lại đổ như thác xuống trong một chu kỳ vô hạn. Đó là một nghịch lý rõ ràng, khi mà nước từ chân thác chảy dọc theo mương nước mà lại lên được đỉnh thác rồi lại đổ như thác xuống dưới theo một chu kỳ vô hạn.

Escher ghi chú trên bức tranh là một lượng nước phải được bổ sung định kỳ vào cỗ máy chuyển động vĩnh cửu biểu kiến này, chỉ là để bù đắp cho sự bay hơi nước. Hình vẽ này chỉ ra rõ ràng sự vi phạm nguyên tắc bảo toàn năng lượng của vật lý, khi nước thu được động năng, mà lại không bị mất thế năng. Vả lại, chúng ta ai cũng biết được rằng nước không thể tự chảy từ thấp lên cao được, ngược lại với tác động từ trọng lực.

Tại sao Penrose rất nổi tiếng?

Điều khiến Roger Penrose nổi bật trong số các nhà vật lý và toán học cùng thời với ông là bề rộng và chiều sâu trong công việc của ông. Ông có những đóng góp phi thường trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ảnh hưởng của ông lan rộng khắp thế giới khoa học, từ hoạt động của trí tuệ nhân tạo đến ứng dụng của lý thuyết lượng tử. Một số tác phẩm của ông thậm chí còn đi vào văn hóa đại chúng. Nhưng có lẽ nổi tiếng nhất trong các đóng góp nổi tiếng của ông là đóng góp của ông vào sự hiểu biết về các hố đen.
Penrose được biết đến là cha đẻ của lực hấp dẫn lượng tử với công trình nghiên cứu lý thuyết xoắn, đề cập đến hình học của không-thời gian. Từ những năm 60 của thế kỷ 20, ông đã tính toán nhiều đặc điểm cơ bản của hố đen. Bài báo này chỉ mới lược trích được một phần nhỏ các công trình của ông trong các lĩnh vực khác, chứ chưa đề cập đến công trình nghiên cứu về lỗ đen của ông mà đã được trao giải Nobel Vật lý năm 2020, hay suy đoán của ông về mối quan hệ giữa cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng, hay phát minh của ông về mạng spin (spin network), hay biểu đồ Penrose, hay các nghiên cứu rất sâu của ông về ý thức. Penrose đã được trao rất nhiều giải thưởng cho những đóng góp quan trọng của ông trong khoa học. Năm 1994 Penrose đã được phong tước hiệp sĩ Anh cho các hoạt động phục vụ khoa học của ông. Ở tuổi „cửu thập cổ lai hy”(*), Penrose vẫn đang miệt mài nghiên cứu ứng dụng lý thuyết lượng tử vào sinh học.

(*) câu “… thất thập cổ lai hy” mà Bác Hồ dùng trong di chúc của Người là trích từ một bài thơ của thi hào Đỗ Phủ, được Tản Đà dịch thành “Sống bảy mươi năm đã mấy người?”, hàm nghĩa là “sống trên đời đến bảy mươi xưa nay hiếm”. Sir Roger Penrose sắp đón sinh nhật chín mươi tuổi, nên tác giả biến đổi thành “cửu thập”.